Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Использование свойств степеней при преобразовании выражений

Данную статью стоит рассматривать как составную часть материала преобразование степенных выражений. Там мы вкратце затронули тему преобразования выражений с использованием свойств степеней. Здесь мы уделим ей более пристальное внимание: на примерах разберем все тонкости преобразования выражений на базе свойств степеней.

Напомним свойства степеней

Имеют место следующие свойства степеней для a>0, b>0 и любых действительных r и s:

• a^r·a^s=a^r+s;
• a^r:a^s=a^r−s;
• (a·b)^r=a^r·b^r;
• (a:b)^r=a^r:b^r;
• (a^r)^s=a^r·s.

Обязательно нужно помнить, что для натуральных, целых и положительных показателей степеней ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Укажем их для этих случаев.

Если r и s – натуральные числа, a и b – действительные числа, то

• a^r·a^s=a^r+s;
• a^r:a^s=a^r−s при r>s и a≠0;
• (a·b)^r=a^r·b^r;
• (a:b)^r=a^r:b^r при b≠0;
• (a^r)^s=a^r·s.

Когда r и s – целые числа и хотя бы одно из них не натуральное (случай натуральных r и s здесь мы не будем затрагивать, так как соответствующие свойства мы только что перечислили выше), a и b – действительные числа, то

• a^r·a^s=a^r+s при r≤0 и/или s≤0, a≠0;
• a^r:a^s=a^r−s при r≤0 и/или s≤0, a≠0;
• (a·b)^r=a^r·b^r при r≤0, a≠0, b≠0;
• (a:b)^r=a^r:b^r при r≤0, a≠0, b≠0;
• (a^r)^s=a^r·s при r≤0 и/или s≤0, a≠0.

Когда r и s – положительные действительные числа и хотя бы одно из них не целое (случаю целых r и s отвечают свойства выше), a и b – действительные числа, то

• a^r·a^s=a^r+s при a≥0;
• a^r:a^s=a^r−s при a>0;
• (a·b)^r=a^r·b^r при a≥0, b≥0;
• (a:b)^r=a^r:b^r при a≥0, b>0;
• (a^r)^s=a^r·s при a≥0.

Сразу поясним, для чего мы так кропотливо расписали все ограничения для чисел в основаниях степеней в зависимости от значений показателей. В принципе, для преобразования выражений со степенями достаточно самого первого блока из пяти формул. Но для их использования придется постоянно добиваться того, чтобы в основании степеней были только положительные числа или выражения, принимающие только положительные значения (этого требуют условия a>0, b>0). Это, естественно, удлиняет процесс преобразования выражений, все степени в которых имеют натуральные, целые или положительные показатели, а в основаниях фигурируют отрицательные числа, нули и выражения, принимающие не только положительные значения. Такие выражения лучше преобразовывать с использованием формул, соответствующих показателям содержащихся в них степеней. Ниже мы приведем примеры, иллюстрирующие эти слова.

Преобразование числовых выражений со степенями

Изучать, как осуществляется преобразование выражений с использованием свойств степеней, начнем на числовых выражениях. А уже в следующем пункте перейдем к преобразованию выражений с переменными в основаниях степеней.

Когда основания всех степеней, фигурирующих в преобразовываемом выражении, являются положительными числами, можно безбоязненно использовать формулы a^r·a^s=a^r+s, a^r::a^s=a^r−s, (a·b)^r=a^r·b^r, (a::b)^r=a^r::b^r, (a^r)^s=a^r·s, отвечающие свойствам степеней. Причем применять их можно как слева направо, так и справа налево.

Интереснее обстоит дело с преобразованием выражений, которые содержат степени с отрицательными числами и нулями в основаниях. Мы, естественно, имеем в виду, что указанные выражения не лишены смысла. Например, лишены смысла степени , (−1)^3,5, , 0⁻³, 0⁰, и о преобразовании выражений, содержащих такие степени, не может быть и речи. Напротив, степени (−2)³, (−1,5)⁻², 0^2·π, ((−2)·(−3))^0,2 и т.п. имеют смысл, и мы можем преобразовывать содержащие их выражения.

Главный вопрос, который следует постоянно задавать себе при преобразовании таких выражений с использованием свойств степеней, звучит так: «Имеем ли мы право применять выбранное свойство степеней для данных оснований и показателей»? Другими словами, всегда нужно проверять выполнение условий для чисел a, b, r, s, которые указаны для каждого свойства степеней. Разберемся с этим на примерах.

Начнем с такого примера: «Можно ли от степени ((−2)·(−3))⁴ по формуле (a·b)^r=a^r·b^r перейти к произведению степеней (−2)⁴·(−3)⁴»? Для начала отметим, что выражение ((−2)·(−3))⁴ имеет смысл. В этом случае показатель степени r равен 4, это натуральное число, а для натурального r свойство степеней (a·b)^r=a^r·b^r имеет место для любых действительных чисел a и b. Поэтому, выражение ((−2)·(−3))⁴ можно представить в виде (−2)⁴·(−3)⁴.

Будем развивать мысль дальше: а можно ли от степени ((−2)·(−3))⁻⁷ по все по той же формуле перейти к выражению (−2)⁻⁷·(−3)⁻⁷? Исходное выражение имеет смысл. Показатель степени r равен −7, это целое отрицательное число, для такого r равенство (a·b)^r=a^r·b^r имеет место при условии a≠0, b≠0. В нашем случае и a и b отличны от нуля (a=−2, b=−3). Таким образом, от выражения ((−2)·(−3))⁻⁷ можно перейти к (−2)⁻⁷·(−3)⁻⁷.

А можно ли степень ((−2)·(−3))^1,3 заменить произведением вида (−2)^1,3·(−3)^1,3? Выражение ((−2)·(−3))^1,3 имеет смысл. Показатель степени в данном случае не целый и при этом положительный. Для такого показателя свойство (a·b)^r=a^r·b^r имеет место для неотрицательных a и b. А у нас и a, и b – отрицательные. Поэтому, нельзя преобразовать степень ((−2)·(−3))^1,3 к виду (−2)^1,3·(−3)^1,3. Более того, выражение (−2)^1,3·(−3)^1,3 не имеет смысла.

Заметим, что целесообразно избавляться от отрицательных чисел в основании степеней, а дальше применять свойства степеней без опаски. Например, выражение из предыдущего абзаца ((−2)·(−3))^1,3 в силу правила умножения отрицательных чисел можно переписать как (2·3)^1,3 и уже дальше применять свойство степени произведения. Этот подход дает следующую цепочку преобразований: ((−2)·(−3))^1,3=(2·3)^1,3=2^1,3·3^1,3.

Избавлению от отрицательных чисел в основаниях степеней также способствуют два результата:

• (−a)^2·z=a^2·z, где −a – любое отрицательное число (при этом a – положительное), z – любое целое отличное от нуля число,
• и (−a)^2·z+1=−a^2·z+1, где −a – любое отрицательное число (при этом a – положительное), z – любое целое число.

Они довольно просто обосновываются: (−a)^2·z=(−1·a)^2·z=(−1)^2·z·a^2·z=1·a^2·z=a^2·z и (−a)^2·z+1=(−1·a)^2·z+1=(−1)^2·z+1·a^2·z+1=−1·a^2·z+1=−a^2·z+1. Приведем примеры их применения: (−3)²=3², (−2,31)⁻⁵=−(2,31)⁻⁵.

Для закрепления материала приведем еще пару примеров, построенных на контрасте.

Формула a^r·a^s=a^r+s с переставленными частями позволяет представить степень (−1,7)⁵ как (−1,7)²·(−1,7)³ (r и s - натуральные) или как (−1,7)⁻³·(−1,7)⁸ (r и s – одновременно не натуральные, но целые), а представление (−1,7)^1,5·(−1,7)^3,5 недопустимо (r и s – не целые).

Свойство (a^r)^s=a^r·s не позволяет осуществить переход от к (значения этих выражений равны e и −e соответственно), так как когда числа r или s положительные и хотя бы одно из них не целое, то требуется еще выполнение условия a≥0, а у нас a=−π<0. По этой же причине не стоит утверждать, что равенство напрямую следует из свойства (a^r)^s=a^r·s. Преобразование указанных выражений нужно вести следующим образом:

А что насчет преобразования выражений и ? Не нужно даже пытаться их преобразовать, ведь они изначально не имеют смысла.

Преобразование выражений с переменными в основаниях степеней

Сразу о главном: наиболее часто причиной ошибок при преобразовании выражений с использованием свойств степеней выступает невнимание к условиям, которым должны удовлетворять основания степеней при данных значениях показателей. Другими словами, формулы, задающие свойства степеней, часто используются механически, что и влечет негативные последствия. Продемонстрируем это на примере.

Пусть дано выражение , которое так и хочется преобразовать на базе формулы (a^r)^s=a^r·s следующим образом: . Все на первый взгляд хорошо и красиво. Но давайте вычислим значение исходного выражения и значение выражения, полученного после преобразования, к примеру, при x=0. Подставив это значение в исходное выражение, имеем , а подстановка в выражение x−1, полученное после преобразования, дает 0−1=−1. Мы получили разные значения.

Давайте разбираться, из-за чего возникла такая проблема. В нашем примере мы имеем показатели r=2, s=1/2. При данных значениях показателей степеней формула (a^r)^s=a^r·s имеет место для a≥0. То есть, мы могли выполнять переход от выражения к выражению по указанной формуле лишь при выполнении условия x−1≥0. Выше мы это не учли, и считали, что такой переход возможен для любых значений переменной x из ОДЗ для исходного выражения (которая в данном случае является множеством всех действительных чисел R).

Как избежать подобных проблем при преобразовании выражений с использованием свойств степени? Постоянно проверять, удовлетворяют ли основания степеней условиям выбранного свойства для всех значений переменных из ОДЗ для исходного выражения.

Во всех только что разобранных примерах ОДЗ переменных была такова, что на всей этой области выполнялись условия, позволяющие применять свойства степеней. А как же быть, когда для некоторых значений переменных условия выполняются, а для других – нет, как, например, в уже упомянутом нами случае ? Разберемся с этим.

Основной подход к преобразованию таких выражений базируется на разбиении ОДЗ на несколько областей и следующем вспомогательном результате: для любого действительного числа a справедливо равенство (или , или ), которое следует из определения модуля числа. Это позволяет выражение A представлять как

• A для тех значений переменных из ОДЗ, при которых это выражение принимает положительные значения,
• 0 для тех значений переменных, при которых выражение A обращается в нуль,
• −|A| для тех значений переменных из ОДЗ, при которых выражение A принимает отрицательные значения.

Покажем применение озвученных моментов на практике на примере преобразования выражения . ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−1)²≥0 и представляет собой множество всех действительных чисел. Для значений степеней r=2, s=1/2 мы можем применить свойство степени в степени, если будет выполнено условие x−1≥0, равносильное условию x≥1, имеем: . А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x<1, сначала представляем x−1 как −|x−1|, что приводит к выражению . Дальше в силу свойства степени произведения имеем . А так как |x−1| на рассматриваемом промежутке (x<1) принимает положительные значения, то мы можем применить формулу степени в степени: . Наконец, раскрыв модуль, получаем −(x−1). Итак, . Полученный результат можно переписать в виде .

Для закрепления навыков проведения подобных преобразований разберем решение еще одного примера.