Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, примеры, решения


Преобразование выражений, содержащих логарифмы, часто проводится с применением свойств логарифмов. В данной статье мы разберем основные принципы преобразования выражений с использованием свойств логарифмов.

Начнем с того, что напомним основные свойства логарифмов, перечислив их в виде списка. После этого перейдем к рассмотрению характерных примеров, в которых при преобразовании используются свойства логарифмов. Для начала остановимся на преобразовании числовых выражений с логарифмами, дальше займемся преобразованием выражений с переменными. Особое внимание уделим преобразованиям, которые требуют использования модуля.


Вспоминаем свойства логарифмов

Обычно для преобразования выражений, содержащих логарифмы, используется основное логарифмическое тождество alogab=b, a>0, a≠1, b>0, а также следующие основные свойства логарифмов:

Перечисленные равенства при преобразовании выражений с логарифмами используются как справа налево, так и слева направо.

Стоит заметить, что запоминать следствия из свойств необязательно: при проведении преобразований можно обойтись основными свойствами логарифмов и другими фактами (например, тем, что при b≥0), из которых соответствующие следствия вытекают. «Побочный эффект» такого подхода проявляется лишь в том, что решение будет немного длиннее. К примеру, чтобы обойтись без следствия, которое выражается формулой , а отталкиваться лишь от основных свойств логарифмов, придется провести цепочку преобразований следующего вида: .

То же самое можно сказать и про последнее свойство из приведенного выше списка, которому отвечает формула , так как оно тоже следует из основных свойств логарифмов. Главное понимать, что всегда имеется возможность у степени положительного числа с логарифмом в показателе поменять местами основание степени и число под знаком логарифма. Справедливости ради, заметим, что примеры, подразумевающие осуществление преобразований подобного рода, на практике встречаются редко. Несколько примеров мы приведем ниже по тексту.

Преобразование числовых выражений с логарифмами


Свойства логарифмов вспомнили, теперь пора учиться применять их на практике для преобразования выражений. Естественно начать с преобразования числовых выражений, а не выражений с переменными, так как на них удобнее и проще познавать азы. Так мы и сделаем, причем начнем с очень простых примеров, чтобы научиться выбирать нужное свойство логарифма, но постепенно будем усложнять примеры, вплоть до момента, когда для получения конечного результата нужно будет применять несколько свойств подряд.

Выбор нужного свойства логарифмов

Свойств логарифмов не так мало, и понятно, что нужно уметь выбрать из них подходящее, которое в данном конкретном случае приведет к требуемому результату. Обычно это сделать нетрудно, сопоставив вид преобразуемого логарифма или выражения с видами левых и правых частей формул, выражающих свойства логарифмов. Если левая или правая часть одной из формул совпадает с заданным логарифмом или выражением, то, скорее всего, именно это свойство и надо применять при преобразовании. Следующие примеры это наглядно демонстрируют.

Начнем с примеров преобразования выражений с использованием определения логарифма, которому отвечает формула alogab=b, a>0, a≠1, b>0.

Пример.

Вычислите, если это возможно: а) 5log54, б) 10lg(1+2·π), в) , г) 2log2(−7), д) .

Решение.

В примере под буквой а) явно видна структура alogab, где a=5, b=4. Эти числа удовлетворяют условиям a>0, a≠1, b>0, поэтому можно безбоязненно воспользоваться равенством alogab=b. Имеем 5log54=4.

б) Здесь a=10, b=1+2·π, условия a>0, a≠1, b>0 выполнены. При этом имеет место равенство 10lg(1+2·π)=1+2·π.

в) И в этом примере мы имеем дело со степенью вида alogab, где и b=ln15. Так .

Несмотря на принадлежность к тому же виду alogab (здесь a=2, b=−7), выражение под буквой г) нельзя преобразовать по формуле alogab=b. Причина в том, что оно не имеет смысла, так как содержит отрицательное число под знаком логарифма. Более того, число b=−7 не удовлетворяет условию b>0, что не дает возможности прибегнуть к формуле alogab=b, так как она требует выполнения условий a>0, a≠1, b>0. Итак, нельзя говорить о вычислении значения 2log2(−7). В этом случае запись 2log2(−7)=−7 будет ошибкой.

Аналогично и в примере под буквой д) нельзя привести решение вида , так как исходное выражение не имеет смысла.

Ответ:

а) 5log54=4, б) 10lg(1+2·π)=1+2·π, в) , г), д) выражения не имеют смысла.

Часто бывает полезно преобразование, при котором положительное число представляется в виде степени какого-то положительного и отличного от единицы числа с логарифмом в показателе. В его основе лежит то же определение логарифма alogab=b, a>0, a≠1, b>0, но формула применяется справа налево, то есть, в виде b=alogab. Например, 3=eln3 или 5=5log55.

Переходим к применению свойств логарифмов для преобразования выражений.

Пример.

Найдите значение выражения: а) log−21, б) log11, в) log01, г) log71, д) ln1, е) lg1, ж) log3,751, з) log5·π71.

Решение.

В примерах под буквами a), б) и в) даны выражения log−21, log11, log01, которые не имеет смысла, так как в основании логарифма не должно находиться отрицательное число, нуль или единица, ведь мы определили логарифм лишь для положительного и отличного от единицы основания. Поэтому, в примерах а) - в) не может быть и речи о нахождении значения выражения.

Во всех остальных заданиях, очевидно, в основаниях логарифмов находятся положительные и отличные от единицы числа 7, e, 10, 3,75 и 5·π7 соответственно, а под знаками логарифмов всюду стоят единицы. А нам известно свойство логарифма единицы: loga1=0 для любого a>0, a≠1. Таким образом, значения выражений б) – е) равны нулю.

Ответ:

а), б), в) выражения не имеют смысла, г) log71=0, д) ln1=0, е) lg1=0, ж) log3,751=0, з) log5·e71=0.

Пример.

Вычислить: а) , б) lne, в) lg10, г) log5·π3−2(5·π3−2), д) log−3(−3), е) log11.

Решение.

Понятно, что нам предстоит воспользоваться свойством логарифма основания, которому отвечает формула logaa=1 при a>0, a≠1. Действительно, в заданиях под всеми буквами число под знаком логарифма совпадает с его основанием. Таким образом, хочется сразу сказать, что значение каждого из заданных выражений есть 1. Однако не стоит торопиться с выводами: в заданиях под буквами а) – г) значения выражений действительно равны единице, а в заданиях д) и е) исходные выражения не имеют смысла, поэтому нельзя сказать, что значения этих выражений равны 1.

Ответ:

а) , б) lne=1, в) lg10=1, г) log5·π3−2(5·π3−2)=1, д), е) выражения не имеют смысла.

Пример.

Найти значение: а) log3311, б) , в) , г) log−10(−10)6.

Решение.

Очевидно, под знаками логарифмов стоят некоторые степени основания. Исходя из этого, понимаем, что здесь нам пригодится свойство степени основания: logaap=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число. Учитывая это, имеем следующие результаты: а) log3311=11, б) , в) . А можно ли записать аналогичное равенство для примера под буквой г) вида log−10(−10)6=6? Нет, нельзя, так как выражение log−10(−10)6 не имеет смысла.

Ответ:

а) log3311=11, б) , в) , г) выражение не имеет смысла.

Пример.

Представьте выражение в виде суммы или разности логарифмов по тому же основанию: а) , б) , в) lg((−5)·(−12)).

Решение.

а) Под знаком логарифма находится произведение, а нам известно свойство логарифма произведения loga(x·y)=logax+logay, a>0, a≠1, x>0, y>0. В нашем случае число в основании логарифма и числа в произведении являются положительными, то есть, удовлетворяют условиям выбранного свойства, поэтому, мы его можем спокойно применять: .

б) Здесь воспользуемся свойством логарифма частного , где a>0, a≠1, x>0, y>0. В нашем случае основание логарифма есть положительное число e, числитель и знаменатель π положительны, значит, удовлетворяют условиям свойства, поэтому мы имеем право на применение выбранной формулы: .

в) Во-первых, заметим, что выражение lg((−5)·(−12)) имеет смысл. Но при этом для него мы не имеем права применять формулу логарифма произведения loga(x·y)=logax+logay, a>0, a≠1, x>0, y>0, так как числа −5 и −12 – отрицательные и не удовлетворяют условиям x>0, y>0. То есть, нельзя провести такое преобразование: lg((−5)·(−12))=lg(−5)+lg(−12). А что же делать? В подобных случаях исходное выражение нуждается в предварительном преобразовании, позволяющем уйти от отрицательных чисел. Про подобные случаи преобразования выражений с отрицательными числами под знаком логарифма мы подробно поговорим в одном из следующих пунктов, а пока приведем решение этого примера, которое понятно наперед и без объяснений: lg((−5)·(−12))=lg(5·12)=lg5+lg12.

Ответ:

а) , б) , в) lg((−5)·(−12))=lg5+lg12.

Пример.

Упростить выражение: а) log30,25+log316+log30,5, б) .

Решение.

Здесь нам помогут все те же свойства логарифма произведения и логарифма частного, которые мы использовали в предыдущих примерах, только сейчас мы будем их применять справа налево. То есть, сумму логарифмов преобразуем в логарифм произведения, а разность логарифмов – в логарифм частного. Имеем
а) log30,25+log316+log30,5=log3(0,25·16·0,5)=log32.
б) .

Ответ:

а) log30,25+log316+log30,5=log32, б) .

Пример.

Избавьтесь от степени под знаком логарифма: а) log0,7511, б) , в) log3(−5)6.

Решение.

Несложно заметить, что мы имеем дело с выражениями вида logabp. Соответствующее свойство логарифма имеет вид logabp=p·logab, где a>0, a≠1, b>0, p - любое действительное число. То есть, при выполнении условий a>0, a≠1, b>0 от логарифма степени logabp мы можем переходить к произведению p·logab. Проведем это преобразование с заданными выражениями.

а) В этом случае a=0,7, b=5 и p=11. Так log0,7511=11·log0,75.

б) Здесь , условия a>0, a≠1, b>0 выполняются. Поэтому

в) Выражение log3(−5)6 имеет ту же структуру logabp, a=3, b=−5, p=6. Но для b не выполняется условие b>0, что делает невозможным применение формулы logabp=p·logab. Так что же, нельзя справиться с поставленной задачей? Можно, но требуется предварительное преобразование выражения, о котором мы подробно поговорим ниже в пункте под заголовком преобразование выражений с отрицательными числами под знаком логарифма. Решение будет таким: log3(−5)6=log356=6·log35.

Ответ:

а) log0,7511=11·log0,75,
б)
в) log3(−5)6=6·log35.

Довольно часто формулу логарифма степени при проведении преобразований приходится применять справа налево в виде p·logab=logabp (при этом требуется выполнение тех же условий для a, b и p). Например, 3·ln5=ln53 и lg2·log23=log23lg2.

Пример.

а) Вычислите значение log25, если из таблицы логарифмов известно, что lg2≈0,3010 и lg5≈0,6990. б) Представьте дробь в виде логарифма по основанию 3.

Решение.

а) Формула перехода к новому основанию логарифма позволяет данный логарифм представить в виде отношения десятичных логарифмов, значения которых нам известны: . Остается лишь провести вычисления, имеем .

б) Здесь достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию, причем применить ее справа налево, то есть, в виде . Получаем .

Ответ:

а) log25≈2,3223, б) .

На этом этапе мы достаточно скрупулезно рассмотрели преобразование самых простых выражений с использованием основных свойств логарифмов и определения логарифма. В этих примерах нам приходилось применять какое-то одно свойство и ничего более. Теперь со спокойной совестью можно переходить к примерам, преобразование которых требует использования нескольких свойств логарифмов и других дополнительных преобразований. Ими мы и займемся в следующем пункте. Но перед этим еще вкратце остановимся на примерах применения следствий из основных свойств логарифмов.

Пример.

а) Избавьтесь от корня под знаком логарифма . б) Преобразуйте дробь в логарифм по основанию 5. в) Освободитесь от степеней под знаком логарифма и в его основании . г) Вычислите значение выражения . д) Замените выражение степенью с основанием 3.

Решение.

а) Если вспомнить про следствие из свойства логарифма степени , то можно сразу давать ответ: .

б) Здесь воспользуемся формулой справа налево, имеем .

в) В данном случае к результату приводит формула . Получаем .

г) А здесь достаточно применить следствие, которому отвечает формула . Так .

д) Свойство логарифма позволяет нам достичь нужного результата: .

Ответ:

а) . б) . в) . г) . д) .

Последовательное применение нескольких свойств

Реальные задания на преобразование выражений с использованием свойств логарифмов обычно сложнее тех, которыми мы занимались в предыдущем пункте. В них, как правило, результат получается не в один шаг, а решение уже состоит в последовательном применении одного свойства за другим вместе с дополнительными тождественными преобразованиями, такими как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращении дробей и т.п. Так давайте подбираться ближе к таким примерам. Сложного в этом ничего нет, главное действовать аккуратно и последовательно, соблюдая порядок выполнения действий.

Пример.

Вычислить значение выражения (log315−log35)·7log75.

Решение.

Разность логарифмов в скобках по свойству логарифма частного можно заменить логарифмом log3(15:5), и дальше вычислить его значение log3(15:5)=log33=1. А значение выражения 7log75 по определению логарифма равно 5. Подставим эти результаты в исходное выражение, получаем (log315−log35)·7log75=1·5=5.

Приведем вариант решения без пояснений:
(log315−log35)·7log75=log3(15:5)·5=
=log33·5=1·5=5.

Ответ:

(log315−log35)·7log75=5.

Пример.

Чему равно значение числового выражения log3log223−1?

Решение.

Преобразуем сначала логарифм, находящийся под знаком логарифма, по формуле логарифма степени: log223=3. Таким образом, log3log223=log33 и дальше log33=1. Так log3log223−1=1−1=0.

Ответ:

log3log223−1=0.

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

Формула перехода к новому основанию логарифма позволяет отношение логарифмов по одному основанию представить как log35. При этом исходное выражение примет вид . По определению логарифма 3log35=5, то есть , а значение полученного выражения в силу того же определения логарифма равно двум.

Вот краткий вариант решения, который обычно и приводится: .

Ответ:

.

Для плавного перехода к информации следующего пункта давайте взглянем на выражения 52+log53, и lg0,01. Их структура не подходит ни под одно из свойств логарифмов. Так что же получается, их нельзя преобразовать с использованием свойств логарифмов? Можно, если провести предварительные преобразования, подготавливающие данные выражения к применению свойств логарифмов. Так 52+log53=52·5log53=25·3=75, и lg0,01=lg10−2=−2. Дальше мы подробно разберемся, как осуществляется подобная подготовка выражений.

Подготовка выражений к применению свойств логарифмов

Логарифмы в составе преобразуемого выражения очень часто по структуре записи отличаются от левых и правых частей формул, отвечающих свойствам логарифмов. Но не менее часто преобразование этих выражений подразумевает использование свойств логарифмов: для их использования лишь требуется предварительная подготовка. А заключается эта подготовка в проведении определенных тождественных преобразований, приводящих логарифмы к виду, удобному для применения свойств.

Справедливости ради, заметим, что в качестве предварительных преобразований могут выступать практически любые преобразования выражений, от банального приведения подобных слагаемых до применения тригонометрических формул. Это и понятно, так как преобразуемые выражения могут содержать какие угодно математические объекты: скобки, модули, дроби, корни, степени и т.д. Таким образом, нужно быть готовым выполнить любое требующееся преобразование, чтобы дальше получить возможность воспользоваться свойствами логарифмов.

Сразу скажем, что в этом пункте мы не ставим перед собой задачу классифицировать и разобрать все мыслимые предварительные преобразования, позволяющие в дальнейшем применить свойства логарифмов или определение логарифма. Здесь мы остановимся лишь на четырех из них, которые наиболее характерны и наиболее часто встречаются на практике.

А теперь подробно о каждом из них, после чего в рамках нашей темы останется лишь разобраться с преобразованием выражений с переменными под знаками логарифмов.

Выделение степеней под знаком логарифма и в его основании

Начнем сразу с примера. Пусть перед нами логарифм . Очевидно, в таком виде его структура не располагает к применению свойств логарифмов. А можно ли как-нибудь преобразовать данное выражение, чтобы упростить его, а еще лучше вычислить его значение? Для ответа на этот вопрос давайте внимательно поглядим на числа 81 и 1/9 в контексте нашего примера. Здесь несложно заметить, что эти числа допускают представление в виде степени числа 3, действительно, 81=34 и 1/9=3−2. При этом исходный логарифм представляется в виде и появляется возможность применения формулы . Итак, .

Анализ разобранного примера рождает следующую мысль: при возможности можно попробовать выделить степень под знаком логарифма и в его основании, чтобы применить свойство логарифма степени или его следствия. Остается только выяснить, как эти степени выделять. Дадим некоторые рекомендации по этому вопросу.

Иногда довольно очевидно, что число под знаком логарифма и/или в его основании представляет собой некоторую целую степень, как в рассмотренном выше примере. Практически постоянно приходится иметь дело со степенями двойки, которые хорошо примелькались: 4=22, 8=23, 16=24, 32=25, 64=26, 128=27, 256=28, 512=29, 1024=210. Это же можно сказать и про степени тройки: 9=32, 27=33, 81=34, 243=35, … Вообще, не помешает, если перед глазами будет находиться таблица степеней натуральных чисел в пределах десятка. Также не составляет труда работать с целыми степенями десяти, ста, тысячи и т.д.

Пример.

Вычислить значение или упростить выражение: а) log6216, б) , в) log0,0000010,001.

Решение.

а) Очевидно, что 216=63, поэтому log6216=log663=3.

б) Таблица степеней натуральных чисел позволяет представить числа 343 и 1/243 в виде степеней 73 и 3−4 соответственно. Поэтому возможно следующее преобразование заданного логарифма:

в) Так как 0,000001=10−6 и 0,001=10−3, то log0,0000010,001=log10−610−3=(−3)/(−6)=1/2.

Ответ:

а) log6216=3, б) , в) log0,0000010,001=1/2.

В более сложных случаях для выделения степеней чисел приходится прибегать к разложению чисел на простые множители.

Пример.

Преобразуйте выражение к более простому виду log3648·log23.

Решение.

Давайте посмотрим, что представляет собой разложение числа 648 на простые множители:

То есть, 648=23·34. Таким образом, log3648·log23=log3(23·34)·log23.

Теперь логарифм произведения преобразуем в сумму логарифмов, после чего применим свойства логарифма степени:
log3(23·34)·log23=(log323+log334)·log23=
=(3·log32+4)·log23.

Дальше раскрываем скобки: (3·log32+4)·log23=3·log32·log23+4·log23.

В силу следствия из свойства логарифма степени, которому отвечает формула , произведение log32·log23 представляет собой произведение взаимно обратных чисел, а оно, как известно, равно единице. Учитывая это, получаем 3·log32·log23+4·log23=3·1+4·log23=3+4·log23.

Ответ:

log3648·log23=3+4·log23.

Довольно часто выражения под знаком логарифма и в его основании представляют собой произведения или отношения корней и/или степеней некоторых чисел, например, , . Подобные выражения можно представить в виде степени. Для этого осуществляется переход от корней к степеням, и применяются свойства корней и свойства степеней. Указанные преобразования позволяют выделить степени под знаком логарифма и в его основании, после чего применить свойства логарифмов.

Пример.

Вычислите: а) , б) .

Решение.

а) Выражение в основании логарифма есть произведение степеней с одинаковыми основаниями, по соответствующему свойству степеней имеем 52·5−0,5·5−1=52−0,5−1=50,5.

Теперь преобразуем дробь под знаком логарифма: перейдем от корня к степени, после чего воспользуемся свойством отношения степеней с одинаковыми основаниями: .

Остается подставить полученные результаты в исходное выражение, воспользоваться формулой и закончить преобразования:

б) Так как 729=36, а 1/9=3−2, то исходное выражение можно переписать в виде .

Дальше применяем свойство корня из степени, осуществляем переход от корня к степени и используем свойство отношения степеней, чтобы преобразовать основание логарифма в степень: .

Учитывая последний результат, имеем .

Ответ:

а) , б) .

Понятно, что в общем случае для получения степеней под знаком логарифма и в его основании могут требоваться различные преобразования различных выражений. Приведем пару примеров.

Пример.

Чему равно значение выражения: а) , б) .

Решение.

а) Для начала освободимся от иррациональности в знаменателе дроби, которая находится в основании логарифма: . Получили нечто «похожее» на дробь под знаком логарифма. Поработаем с этим выражением, используя свойства степеней: . Проделанные преобразования приводят нас к логарифму степени основания вида , его значение равно 5.

б) Здесь для преобразования нам понадобятся тригонометрические формулы, а точнее одна из них – формула понижения степени . Так . Основание последнего логарифма можно переписать в виде степени как или же выражение под знаком логарифма переписать как . И в том и в другом случае финальным результатом будет число 6.

Ответ:

а) , б) .

Применение свойств степеней

В предыдущем пункте мы уже обращались к свойствам степеней для выделения степеней под знаками и в основаниях логарифмов. Здесь мы рассмотрим еще несколько характерных случаев использования свойств степеней для подготовки выражений к применению свойств логарифмов.

Начнем с примеров, в которых используется свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями ap·aq=ap+q, причем обычно это равенство приходится применять справа налево.

Пример.

Найти значение выражения: а) 3−2+log37, б) 0,72−log0,70,1.

Решение.

а) Сначала исходную степень представляем в виде произведения степеней: 3−2+log37=3−2·3log37. Остается вычислить значение первого множителя, выполнив возведение в степень, значение второго множителя по определению логарифма, и, наконец, их произведение: 3−2·3log37=(1/9)·7=7/9.

б) Здесь подготовка выражения к применению свойств логарифмов заключается в переходе к произведению степеней 0,72−log0,70,1=0,72·0,7−log0,70,1. Дальше по свойству логарифма степени показатель −log0,70,1 представляем в виде log0,7(0,1)−1=log0,710, и заканчиваем вычисления: 0,72·0,7−log0,70,1=0,49·0,7log0,710=0,49·10=4,9.

Ответ:

а) 3−2+log37=7/9, б) 0,72−log0,70,1=4,9.

Другой ряд характерных примеров перед применением свойств логарифмов требует предварительных преобразований, проводящихся на базе свойства степени в степени, которому отвечает формула (ap)q=ap·q. Разберем, как она используется.

Допустим, перед нами выражение (eln2)3. Выражение в скобках по определению логарифма равно 2, следовательно, (eln2)3=23=8. А как быть, если мы имеем дело с выражением e3·ln2 или (e3)ln2? Очень просто: на базе свойства степени в степени они приводятся к виду (eln2)3. Так e3·ln2=eln2·3=(eln2)3 и (e3)ln2=e3·ln2=eln2·3=(eln2)3.

Закрепим полученные навыки.

Пример.

Упростить выражение: а) 2log223−3log23, б) 25(log85)−1.

Решение.

а) Для начала заметим, что не надо путать 2log223 с (2log23)2 - это разные выражения. Выражение 2log223 можно переписать в виде 2log23·log23, а дальше по свойству степени в степени представить как (2log23)log23. Последнее выражение тождественно равно 3log23. Таким образом, 2log223−3log23=3log23−3log23=0.

Вот краткий вариант решения:
2log223−3log23=2log23·log23−3log23=
=(2log23)log23−3log23=3log23−3log23=0.

Что у нас под буквой б)? Отметим, что 25(log85)−1 - это не (25log85)−1. Степень (log85)−1 можно представить в виде дроби , которую в свою очередь на базе следствия из свойства перехода к новому основанию логарифма, выраженного формулой , можно заменить на log58. Так 25(log85)−1=25log58. Но 25 – это 52, поэтому 25log58=(52)log58. Полученное выражение представляем в виде (5log58)2, что позволяет вычислить его значение: (5log58)2=82=64.

Ответ:

а) 2log223−3log23=0, б) 25(log85)−1=64.

Естественно встречаются примеры, в которых предварительная подготовка к использованию свойств логарифмов заключается в применении и свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями, и свойства степени в степени. Например,
4−0,5+2·log43=4−0,5·42·log43=
=1/2·(4log43)2=1/2·32=1/2·9=4,5.

Что «скрывают» десятичные дроби?

Порою возможность применения свойств логарифмов скрыта за десятичными дробями. К примеру, что делать с логарифмом log0,4(2/5)3? В этом случае достаточно заметить, что 0,4 и 2/5 – это различные записи одного и того же числа в виде десятичной дроби и в виде обыкновенной дроби соответственно. Действительно, 0,4=4/10=2/5.

Таким образом, при наличии десятичных дробей под знаком логарифма и/или в его основании часто полезным оказывается предварительное преобразование, заключающееся в переходе к обыкновенным дробям, которое позволяет в дальнейшем разглядеть возможность применения свойств логарифмов.

Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример.

Определите значение логарифма log0,46,25.

Решение.

Посмотрим, не скрывают ли десятичные дроби возможность применения свойств логарифмов. Для этого перейдем от десятичных к обыкновенным дробям: . Теперь несложно заметить, что 25/4 можно представить в виде степени основания логарифма как (2/5)−2, что дальше позволяет воспользоваться соответствующим свойством логарифма. Таким образом, .

Ответ:

log0,46,25=−2.

Отрицательные числа под знаком логарифма

Продолжаем рассматривать числовые выражения с логарифмами, которые нуждаются в предварительном преобразовании перед применением свойств логарифмов. И сейчас затронем выражения, содержащие отрицательные числа под знаком логарифма или в его основании, но при этом имеющие смысл. Вот несколько примеров подобных логарифмов: log3((−2)·(−5)), log2(−2)6, .

Для преобразования выражений указанного вида нельзя применять свойства логарифмов в том виде, в котором мы их привели в первом пункте данной статьи. Так на базе свойства логарифма произведения нельзя перейти от выражения log3((−2)·(−5)) к сумме логарифмов log3(−2)+log3(−5), аналогично, не стоит пытаться сразу применить свойство логарифма степени к выражению log2(−2)6, как и свойство логарифма частного к выражению . А почему? Да потому, что для каждого свойства логарифмов указаны условия, которым должны удовлетворять числа под его знаком и в основании, а отрицательные числа этим условиям не удовлетворяют.

Давайте подробно поясним сказанное. Для этого еще раз вернемся к примеру log3((−2)·(−5)). Это выражение по структуре есть loga(x·y), где a=3, x=−2, y=−5. А формулу логарифма произведения вида loga(x·y)=logax+logay мы можем применять, если выполнены условия a>0, a≠1, x>0, y>0. Для нашего примера, очевидно, условия для x и y не выполняются, поэтому, мы не можем записать равенство log3((−2)·(−5))=log3(−2)+log3(−5). Аналогично, неверными будут и преобразования log2(−2)6=6·log2(−2) и .

Так что же получается: подобные выражения нельзя преобразовывать по свойствам логарифмов? Можно, но требуется проведение предварительных преобразований, позволяющих избавиться от отрицательных чисел под знаком и в основании логарифма. Обычно в основе этих преобразований лежат хорошо известные нам правила выполнения действий с отрицательными числами.

Опять возвращаемся к примерам. Так по правилу умножения отрицательных чисел имеем (−2)·(−5)=2·5, поэтому log3((−2)·(−5))=log3(2·5), и уже теперь можно применять свойство логарифма произведения: log3(2·5)=log32+log35. В примере log2(−2)6, чтобы стало возможным применение свойства логарифма степени, потребуются следующие преобразования (−2)6=((−1)·2)6=(−1)6·26=1·26=26, поэтому, log2(−2)6=log226=6. А каких предварительных преобразований требует логарифм , станет понятно из решения следующего примера.

Пример.

Вычислить .

Решение.

Для начала заметим, что данное выражение имеет смысл.

Сразу применять свойство логарифма частного мы не имеем права, так как числитель и знаменатель дроби под знаком логарифма есть отрицательные числа. Поэтому, придется провести предварительные преобразования.

Определение корня нечетной степени из отрицательного числа позволяет осуществить переход от дроби к дроби . По правилу деления отрицательных чисел имеем . Остается полученную дробь представить в виде степени двойки и вычислить исходный логарифм: и .

Ответ:

.

Отметим, что свойства логарифма произведения, частного и степени с четным показателем можно расширить и на отрицательные числа, прибегнув к модулям (что мы сделаем ниже, когда речь пойдет о преобразовании выражений с переменными под знаком логарифма), и применять их к рассмотренным в этом пункте выражениям. Например, расширенное свойство логарифма произведения имеет вид loga(x·y)=loga|x|+loga|y|, где a>0, a≠1, x≠0, y≠0, и на его основании имеет место такое преобразование: log3((−2)·(−5))=log3|−2|+log3|−5|=log32+log35.

Преобразование логарифмических выражений с переменными

Азы преобразования выражений с использованием свойств логарифмов познаются на числовых выражениях. Но дальше, например, при решении логарифмических уравнений и неравенств, возникает потребность в преобразовании выражений, которые содержат под знаком логарифма и/или в его основании не только числа, но и переменные. И естественным образом мы начинаем преобразовывать эти выражения по известным нам принципам преобразования подобных выражений, но с числами под знаками логарифма, а не с переменными. И все бы ничего, если бы не некоторые моменты, которые при этом необходимо учитывать, игнорирование которых часто приводит к ошибкам.

Так давайте рассмотрим, в чем здесь подвох, то есть, на что нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными по свойствам логарифмов, что учитывать, и как правильно действовать.

В чем здесь подвох?

Дело в том, что для применения формул, отвечающих свойствам логарифмов, числа под знаком логарифма и в его основании должны удовлетворять определенным условиям, а эти условия могут быть не выполненными для некоторых значений переменных из области допустимых значений (ОДЗ) для заданного выражения с переменными. Для пояснения сказанного, обратимся к показательному примеру.

Рассмотрим выражение log2(x+1)4. Все преобразования выражений с переменными мы проводим на ОДЗ, поэтому, начнем с ее нахождения. В нашем случае ОДЗ определяется неравенством (x+1)4>0, решением которого служит числовое множество (−∞, −1)∪(−1, +∞), получить это решение позволяет, например, метод интервалов.

Дальше отмечаем, что заданное выражение имеет вид logABp, где A=2, B=x+1 и p=4. Числовые выражения подобного вида мы преобразовывали по свойству логарифма степени logabp=p·logab, поэтому, с заданным выражением хочется поступить аналогично, и от log2(x+1)4 перейти к 4·log2(x+1). А теперь давайте вычислим значение исходного выражения и выражения, полученного после преобразования, например, при x=−2. Имеем log2(−2+1)4=log21=0, а 4·log2(−2+1)=4·log2(−1) - не имеющее смысла выражение. Это вызывает закономерный вопрос: «Что мы сделали не так»?

А причина в следующем: мы выполнили преобразование log2(x+1)4=4·log2(x+1), опираясь на формулу logabp=p·logab, но данную формулу мы имеем право применять лишь при выполнении условий a>0, a≠1, b>0, p - любое действительное число. То есть, проделанное нами преобразование имеет место, если x+1>0, что то же самое x>−1 (для A и p – условия выполнены). Однако в нашем случае ОДЗ переменной x для исходного выражения состоит не только из промежутка x>−1, но и из промежутка x<−1. Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необходимость учета ОДЗ

Продолжим разбирать преобразование выбранного нами выражения log2(x+1)4, и сейчас посмотрим, что происходит с ОДЗ при переходе к выражению 4·log2(x+1). В предыдущем пункте мы нашли ОДЗ исходного выражения – это есть множество (−∞, −1)∪(−1, +∞). Теперь найдем область допустимых значений переменной x для выражения 4·log2(x+1). Она определяется условием x+1>0, которому отвечает множество (−1, +∞). Очевидно, что при переходе от log2(x+1)4 к 4·log2(x+1) происходит сужение области допустимых значений. А мы договорились избегать преобразований, приводящих к сужению ОДЗ, так как это может приводить к различным негативным последствиям.

Здесь для себя стоит отметить, что полезно контролировать ОДЗ на каждом шаге преобразования и не допускать ее сужения. И если вдруг на каком-то этапе преобразования произошло сужение ОДЗ, то стоит очень внимательно посмотреть, а допустимо ли данное преобразование и имели ли мы право его проводить.

Справедливости ради скажем, что на практике обычно приходится работать с выражениями, у которых ОДЗ переменных такова, что позволяет при проведении преобразований использовать свойства логарифмов без ограничений в уже известном нам виде, причем как слева направо, так и справа налево. К этому быстро привыкаешь, и начинаешь проводить преобразования механически, не задумываясь, а можно ли было их проводить. И в такие моменты, как назло, проскальзывают более сложные примеры, в которых неаккуратное применение свойств логарифмов приводит к ошибкам. Так что нужно всегда быть на чеку, и следить, чтобы не происходило сужения ОДЗ.

Не помешает отдельно выделить основные преобразования на базе свойств логарифмов, которые нужно проводить очень внимательно, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и как следствие – к ошибкам:

Некоторые преобразования выражений по свойствам логарифмов могут приводить и к обратному - расширению ОДЗ. Например, переход от 4·log2(x+1) к log2(x+1)4 расширяет ОДЗ с множества (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞). Такие преобразования имеют место, если оставаться в рамках ОДЗ для исходного выражения. Так только что упомянутое преобразование 4·log2(x+1)=log2(x+1)4 имеет место на ОДЗ переменной x для исходного выражения 4·log2(x+1), то есть, при x+1>0, что то же самое (−1, +∞).

Теперь, когда мы обговорили нюансы, на которые нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными с использованием свойств логарифмов, остается разобраться, как правильно нужно эти преобразования проводить.

Так как же проводить преобразования?

Как мы уже отметили, в большинстве случаев ОДЗ переменных для преобразовываемого выражения такова, что позволяет свободно использовать свойства логарифмов в уже известной нам форме.

Пример.

Упростить выражение 3·lg(x+2)7−lg(x+2)−5·lg(x+2)4.

Решение.

Напрашивается применение свойства логарифма степени, то есть, вынесение степени в виде числового коэффициента с последующим приведением подобных слагаемых. Но имеем ли мы право применять выбранное свойство логарифма в данном случае? Поразмыслим на этот счет.

Свойство логарифма степени для перехода от lg(x+2)7 к 7·lg(x+2) и от lg(x+2)4 к 4·lg(x+2) требует, чтобы выполнялось условие x+2>0. Выполняется ли оно в нашем случае? Для ответа на этот вопрос взглянем на ОДЗ переменной x. Она определяется системой неравенств , которая равносильна условию x+2>0 (при необходимости смотрите статью решение систем неравенств). Таким образом, мы можем спокойно применять свойство логарифма степени.

Имеем
3·lg(x+2)7−lg(x+2)−5·lg(x+2)4=
=3·7·lg(x+2)−lg(x+2)−5·4·lg(x+2)=
=21·lg(x+2)−lg(x+2)−20·lg(x+2)=
=(21−1−20)·lg(x+2)=0.

Можно действовать и иначе, благо ОДЗ позволяет это делать, например так:

Ответ:

3·lg(x+2)7−lg(x+2)−5·lg(x+2)4=0.

А что делать, когда на ОДЗ не выполняются условия, сопутствующие свойствам логарифмов? Будем разбираться с этим на примерах.

Пусть от нас требуется упростить выражение lg(x+2)4−lg(x+2)2. Преобразование этого выражения, в отличие от выражения из предыдущего примера, не допускает вольготного использования свойства логарифма степени. Почему? ОДЗ переменной x в данном случае представляет собой объединение двух промежутков x>−2 и x<−2. При x>−2 мы можем спокойно применять свойство логарифма степени и действовать как в разобранном выше примере: lg(x+2)4−lg(x+2)2=4·lg(x+2)−2·lg(x+2)=2·lg(x+2). Но ОДЗ содержит еще один промежуток x+2<0, для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0? В подобных случаях на помощь приходит модуль. Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2|. Тогда при x+2<0 от lg(x+2)4−lg(x+2)2 переходим к lg(−|x+2|)4−lg(−|x+2|)2 и дальше в силу свойств степени к lg|x+2|4−lg|x+2|2. Полученное выражение можно преобразовывать по свойству логарифма степени, так как |x+2|>0 при любых значениях переменной. Имеем lg|x+2|4−lg|x+2|2=4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Теперь можно освободиться от модуля, так как он свое дело сделал. Так как мы проводим преобразование при x+2<0, то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)). Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Рассмотрим еще один пример, чтобы работа с модулями стала привычной. Пусть мы задумали от выражения перейти к сумме и разности логарифмов линейных двучленов x−1, x−2 и x−3. Сначала находим ОДЗ:

На промежутке (3, +∞) значения выражений x−1, x−2 и x−3 – положительные, поэтому мы спокойно можем применять свойства логарифма суммы и разности:

А на интервале (1, 2) значения выражения x−1 – положительные, а значения выражений x−2 и x−3 – отрицательные. Поэтому, на рассматриваемом интервале представляем x−2 и x−3 с использованием модуля как −|x−2| и −|x−3| соответственно. При этом

Теперь можно применять свойства логарифма произведения и частного, так как на рассматриваемом интервале (1, 2) значения выражений x−1, |x−2| и |x−3| - положительные.

Имеем

Полученные результаты можно объединить:

Вообще, аналогичные рассуждения позволяют на базе формул логарифма произведения, отношения и степени получить три практически полезных результата, которыми довольно удобно пользоваться:

Аналогичные результаты приведены, например, в указаниях к решению показательных и логарифмических уравнений в сборнике задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М. И. Сканави [1, с. 171, 172].

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

Было бы хорошо применить свойства логарифма степени, суммы и разности. Но можем ли мы здесь это делать? Для ответа на этот вопрос нам требуется знать ОДЗ.

Определим ее:

Довольно очевидно, что выражения x+4, x−2 и (x+4)13 на области допустимых значений переменной x могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому нам придется действовать через модули.

Свойства модуля позволяют переписать как , поэтому

Также ничто не мешает воспользоваться свойством логарифма степени, после чего привести подобные слагаемые:

К такому же результату приводит и другая последовательность преобразований:

и так как на ОДЗ выражение x−2 может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то при вынесении четного показателя степени 14 не забываем заключить x−2 под знак модуля, имеем .

Заметим, что если бы мы просто применяли свойства логарифмов, не прибегая к модулям (при этом происходило бы сужение ОДЗ), то пришли бы к результату 14·log8(x−2), верному при x∈(2, +∞), но неверному на остальной части ОДЗ, то есть, при x∈(−∞, −4).

Ответ:

.

Список литературы.

  1. Сборник задач по математике для поступающих в вуы (с решениями). В 2-х кн. Кн. 1. Алгебра: Учеб. пособие/ В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. - 8-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 1998. - 528 с.: ил. ISBN 5-06-003524-7

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+