Как вынести множитель из-под знака корня? Теория, примеры, решения
Продолжаем разговор про преобразование иррациональных выражений. В этой статье мы тщательно разберемся с вынесением множителя из-под знака корня. Сначала выясним, в чем состоит это преобразование. Дальше узнаем, как нужно действовать, чтобы вынести множитель из-под знака корня, запишем соответствующее правило. При этом рассмотрим основные способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя, и рассмотрим решения примеров.
Что значит вынести множитель из-под знака корня?
Естественно, для изучения озвученной темы нужно иметь четкое представление о том, что понимается под вынесением множителя из-под знака корня (или, как еще говорят, за знак корня). Его позволяет получить информация из школьных учебников [1, с. 92-93; 2, с. 72; 3, с. 46-47]. На ее основе можно сформулировать следующее утверждение:
Определение.
Вынести множитель из-под знака корня – это значит заменить выражение 
произведением 
при нечетных n или произведением 
при четных n, где B и C – некоторые числа или выражения.
В частности, если говорить только о квадратном корне (в этом случае n=2), то вынесением множителя из-под знака квадратного корня называют преобразование, при котором выражение 
заменяется произведением 
.
Теперь понятно, почему данное преобразование получило такое название: в результате его проведения под знаком корня уже не содержится множитель Bn.
Не помешает привести примеры для пояснения озвученного определения. Для первого примера возьмем квадратный корень 
. Это выражение имеет вид , где B=2 и C=3. Замена этого корня произведением 
(в котором можно опустить знак модуля, так как числа 2 и 3 положительные, и оно примет вид 
) есть вынесение множителя 22 из-под знака корня. Вот еще одно преобразование: 
. В этом примере из-под знака квадратного корня вынесен уже не числовой множитель, а выражение с переменными (x2−3·x·y·z)2.
Как видите, первые два примера вынесения множителя из-под знака корня мы привели для квадратных корней. Позже в старших классах придется выносить множители не только из-под знака квадратного корня, но и из-под знака корня n-ой степени, что произойдет после знакомства с корнем n-ой степени и его свойствами. Вот пример вынесения множителя из-под знака кубического корня: 
. А при переходе от корня 
к произведению 
(которое дальше можно упростить до 
) из-под знака корня шестой степени был вынесен множитель 
.
Теперь мы знаем, что представляет собой преобразование, получившее название вынесение множителя из-под знака корня. Остается выяснить, почему мы можем проводить указанные замены корней произведениями и тем самым выносить множитель за знак корня. Займемся этим.
Теоретические основы
Что же позволяет нам заменять корень произведением или ? Давайте приведем соответствующие теоретические выкладки.
В статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней мы получили ряд результатов (там они собраны в таблице), здесь нам понадобятся два из них:
-
при нечетных n выражение
мы можем заменить выражением 
, а при четных n – выражением 
;
-
при нечетных n можно перейти от выражения
к выражению A, а при четных n – к выражению |A|.
Указанные результаты, а также свойства модуля позволяют провести следующие преобразования:
-
если n – нечетное, то
,
-
если n – четное, то
.
Эти преобразования и лежат в основе вынесения множителя из-под знака корня.
Из последних равенств следуют две формулы:
-
при нечетных n,
-
и
при четных n, где B1, B2, …, Bk – некоторые числа или выражения.
Они позволяют выносить сразу несколько множителей из-под знака корня.
Правило вынесения множителя из-под знака корня
На практике обычно подкоренное выражение не представлено в виде Bn·C, и чтобы было возможно вынести множитель из-под знака корня, подкоренное выражение приходится предварительно преобразовывать к указанному виду. Запишем правило вынесения множителя из-под знака корня, учитывающее только что оговоренный момент:
Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении 
, надо
-
корень преобразовать к виду , и
-
если n – нечетное, то перейти от него к произведению ,
-
если n – четное, то перейти к произведению , и при надобности раскрыть модули.
Приведем схему вынесения множителя из-под знака корня, отвечающую данному алгоритму:
Ее можно распространить на вынесение нескольких множителей:
Остается рассмотреть конкретные примеры применения правила вынесения множителя из-под знака корня.
Примеры и решения
Пример.
Вынесите множитель за знак корня: a) 
, б) 
, в) 
.
Решение.
В всех заданиях подкоренное выражение представлено в нужном для вынесения множителя из-под знака корня виде. Учитывая, что в примерах под буквами а) и б) показатель корня есть четное число 2, а в последнем примере – нечетное число 7, получаем:
a) В данном случае показатель корня равен двум, 2 - это четное число, поэтому действуем по правилу вынесения множителя из-под знака корня для четных показателей корня. Имеем 
.
б) Здесь показатель корня также четный, поэтому 
.
в) В данном случае применяем правило вынесения множителя из-под знака корня для нечетных показателей корня: 
.
Заметим, что в задаче под буквой б) можно было сначала воспользоваться свойствами степени и провести такие преобразования 
, после чего уже выносить множитель из-под знака корня: 
.
А в примере под буквой в) возможны еще такие варианты действий:
или
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Пример.
Упростите выражение 
.
Решение.
Очевидно, здесь можно вынести из-под корня три множителя, воспользовавшись второй схемой, которую мы привели в конце предыдущего пункта:
Конечно, можно и последовательно выносить один множитель за другим, но это существенно удлиняет решение.
А можно предварительно преобразовать подкоренное выражение к виду Bn·C, и уже после этого выносить множитель Bn за знак корня:
Ответ:
.
В последнем варианте решения мы затронули проблему преобразования подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя из-под знака корня. Она требует более детального рассмотрения.
Приведение подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя
Как мы уже заметили, в заданиях, требующих вынесения множителя из-под корня, часто корень дан в виде , при этом явно не виден множитель, который можно вынести. В этих случаях приходится сначала проводить преобразование подкоренного выражения к виду Bn·C, удобному для вынесения множителя. При этом в условии задачи может быть сказано, какой именно множитель надо вынести, но чаще нет и этого. Разберем, как действовать в обоих случаях.
Если нам наперед известен множитель B, причем он таков, что его вынесение из-под корня возможно, то для перехода от к достаточно определить C из равенства A=Bn·C.
Пример.
Вынести множитель 23 из-под знака корня в выражении 
.
Решение.
В этом случае имеем n=3, A=24·x, B3=23. Из равенства A=Bn·C находим C=A:(Bn)=24·x:(23)=3·x. Таким образом, 
, и выражение под знаком корня приобрело нужный вид. Теперь вынесение указанного множителя не представляет труда:
Ответ:
.
Если же множитель, предназначенный для вынесения из-под знака корня, не указан, то нам предоставляется свобода самостоятельного выбора этого множителя. Рассмотрим основные подходы, позволяющие сделать этот выбор.
Когда подкоренное выражение представляет собой степень, либо произведение степеней некоторых выражений, то использование свойств степени позволяет привести подкоренное выражение к удобному виду, откуда становятся видны множители для вынесения.
Пример.
Вынести множитель из-под знака корня а) 
, б) 
, в) 
.
Решение.
Задание под буквой а) тривиально, мы уже решили массу подобных примеров: 
.
Переходим ко второму примеру. Несложно догадаться, что для приведения выражения к виду, удобному для вынесения множителя из-под знака корня, достаточно 27 представить как 24·23. Имеем 
.
Осталось решить последний пример, в котором надо вынести множитель из-под знака корня в выражении . Первым делом нужно преобразовать подкоренное выражение к виду, подходящему для вынесения множителя из-под корня. Забегая вперед, укажем этот вид для данного случая: 
. Поясним, как к нему прийти.
В качестве вспомогательного действия выполним деление числа 22 на 4, в результате получаем неполное частное 5 и остаток 2 (при необходимости повторите, как выполняется деление натуральных чисел с остатком). Это позволяет рассматривать число 22 как 4·5+2. Учитывая этот результат и свойства степени, имеем 
.
Итак,
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Если же подкоренное выражение A не представлено в виде степени или произведения степеней, надо постараться придать ему такой вид. При этом наиболее часто приходится иметь дело со следующими случаями.
Под корнем находится натуральное и при этом составное число. В этом случае увидеть множители, подлежащие вынесению из-под знака корня, позволяет представление этого числа в виде разложения на простые множители.
Пример.
Вынести множитель из-под знака корня: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
Решение.
а) Разложим число 45 на простые множители:
Таким образом, 45=3·3·5=32·5 и 
. Теперь хорошо видно, что из-под знака корня можно вынести множитель 32, имеем 
.
б) Представим число 135 в виде произведения простых множителей: 135=3·3·3·5=33·15. Это разложение в свою очередь можно преобразовать к виду 32·3·5=32·15. Тогда 
, откуда виден множитель 32, подлежащий вынесению за знак корня: 
.
в) Сначала представим подкоренное число 3456 в виде произведения простых множителей:
Имеем 3456=27·33 и 
. А так как 27=23·2+1=(23)2·2 и 33=32·3, то
.
г) Разложение числа 102 на простые множители имеет вид 2·3·17. Очевидно, все простые множители в этом разложении имеют показатели степени 1, они меньше показателя корня, который равен 2. Поэтому нет смысла выносить из-под знака корня ни один из этих множителей и лучше оставить как есть.
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
, г) .
Если под знаком корня находится обыкновенная дробь, то есть резон ее числитель и знаменатель дроби представить в виде произведения простых множителей, при этом могут проявиться множители для вынесения за знак корня. Понятно, что если под знаком корня находится десятичная дробь или смешанное число, то их можно заменить соответствующими обыкновенными дробями, после чего действовать по предложенной рекомендации. Также можно перейти от корня отношения к отношению корней.
Пример.
Вынесите множитель за знак корня и упростите выражение 
.
Решение.
Посмотрим, что нам даст переход от десятичной дроби к обыкновенной дроби и последующее разложение ее числителя и знаменателя на простые множители: 
. Свойства степеней позволяют последнему выражению придать такой вид 
. Подставив этот результат в исходное выражение, получаем
К этому же результату позволяют прийти и такие преобразования:
Ответ:
.
Вообще, хороши любые допустимые преобразования подкоренного выражения (какими бы специфическими они ни были), если они позволяют обнаружить множитель, который может быть вынесен из-под знака корня.
Пример.
Упростите иррациональное выражение 
.
Решение.
Выражение в скобках можно представить как 
и дальше как 
. А полученное выражение сворачивается в квадрат суммы на основании соответствующей формулы сокращенного умножения: 
. Таким образом, 
. Остается вынести из-под знака корня множитель 
и упростить полученное выражение:
Ответ:
.
Теперь рассмотрим примеры вынесения из-под знака корня выражений с переменными. Для этого применяются те же приемы, что и при вынесении чисел.
Пример.
Вынести из-под знака корня: а) 
и б) 
.
Решение.
а) 
Здесь можно опустить знак модуля. Для обоснования этого действия давайте посмотрим, какое условие определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного выражения. Им является неравенство (x−5)5≥0. Найти его решение позволяет, например, метод интервалов, получаем x≥5. При этом для любого значения x из ОДЗ значение выражения x−5 неотрицательное. Поэтому, 
.
б) 
Можно сократить показатели корня и степени под ним на 2. Для этого вновь обращаемся к таблице результатов из статьи преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней, из нее нас интересует такой результат: при четных m и натуральных n выражение 
можно заменить выражением 
. Таким образом, 
.
Можно ли здесь опустить знаки модуля? Опять взглянем на ОДЗ для исходного выражения. В этом случае ее составляют все действительные числа (так как (x−5)6≥0 для любого x). При этом значения выражения x−5 могут быть положительными (если x>5), отрицательными (если x<5), а при x=5 значение выражения x−5 равно нулю. Поэтому, выражение 
можно оставить как есть, либо расписать его как 
.
Ответ:
а) 
и б) 
.
Пример.
Упростите выражение 
.
Решение.
Для начала в подкоренном выражении можно вынести за скобки общий множитель x3, в результате приходим к выражению 
. Очевидно, выражение в скобках есть квадрат суммы: 
. Здесь уже просматриваются множители, которые можно вынести из-под корня: 
.
Еще можно опустить знаки модуля, под которыми находится переменная x. Действительно, ОДЗ переменных для исходного выражения определяется условием x5+2·x4·y+x3·y2≥0, которое равносильно условию x3·(x+y)2≥0, из которого следует, что x≥0. В итоге имеем 
.
Ответ:
.
Итак, мы разобрались с вынесением из-под корня. Дальше не помешает узнать, что нужно делать, чтобы провести преобразование противоположной направленности - внести множитель под знак корня.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.