Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю: правило, примеры.

Продолжаем разговор про преобразование алгебраических дробей. Сейчас мы подробно остановимся на приведении алгебраической дроби к новому знаменателю. Сначала разберемся, что представляет собой это преобразование, и на какой теоретической базе оно стоит. Дальше введем понятие дополнительного множителя, и на примерах рассмотрим правило его нахождения. В заключение остановимся на характерных задачах, которые позволяет решать приведение алгебраической дроби к новому знаменателю.

Что значит привести алгебраическую дробь к новому знаменателю?

Мы уже сталкивались с приведением дроби к новому знаменателю, когда изучали обыкновенные дроби. Тогда мы назвали приведением обыкновенной дроби к новому знаменателю умножение ее числителя и знаменателя на произвольное натуральное число. Например, если числитель и знаменатель обыкновенной дроби 3/5 одновременно умножить на 7, то мы приведем ее к новому знаменателю 35, соответствующая последовательность действий задается следующими равенствами .

По аналогии это понятие распространяется на алгебраические дроби. Только в этом случае умножение числителя и знаменателя выполняется не только на число, а на произвольный многочлен, тождественно не равный нулю. Итак, привести алгебраическую дробь к новому знаменателю – это значит одновременно умножить ее числитель и знаменатель на ненулевой многочлен, в частности, на ненулевой одночлен или отличное от нуля число.

Для пояснения приведем пример. Возьмем алгебраическую дробь, например, . Умножив ее числитель и знаменатель на отличный от нуля многочлен, например, на x²+3, мы придем к дроби , которая после выполнения действий с многочленами принимает вид . Так исходная алгебраическая дробь преобразована к виду , и тем самым приведена к новому знаменателю 2·x³+6·x−x²−3.

Связь с основным свойством алгебраической дроби

В основе приведения алгебраической дроби к новому знаменателю лежит основное свойство алгебраической дроби. Оно утверждает, что для любых многочленов a, b и c, где b и c – ненулевые многочлены, имеет место тождественное равенство . Это и объясняет тот факт, что числитель и знаменатель алгебраической дроби можно одновременно умножить на отличный от нуля многочлен. А значит, и утверждает возможность приведения алгебраической дроби к новому знаменателю.

Так как равенство является тождеством, то приведение алгебраической дроби к новому знаменателю представляет собой тождественное преобразование.

Дополнительный множитель и его нахождение

Например, если взять дополнительным множителем многочлен x+1, и умножить на него числитель и знаменатель алгебраической дроби , то мы придем к дроби с новым знаменателем 2·x·y+2·y. Если бы мы взяли другой дополнительный множитель, то получили бы другую дробь с другим знаменателем.

Обычно известно, к какому новому знаменателю нужно привести рациональную дробь. К примеру, есть дробь , и ее нужно привести к новому знаменателю, например, x²+x. В этом случае встает вопрос: «Какой дополнительный множитель позволит нам привести эту дробь к нужному знаменателю»? Дадим правило для его отыскания.

Дополнительный множитель проще всего найти, если и старый и новый знаменатели разложены на множители. В этом случае дополнительный множитель равен произведению всех множителей, которых не хватает в знаменателе исходной рациональной дроби, чтобы он был таким же, как новый.

Вернемся к нашему примеру. Знаменатель исходной рациональной дроби есть x, а новый знаменатель есть x²+x, после разложения его на множители он примет вид x·(x+1). Хорошо видно, что исходный и новый знаменатели отличаются единственным множителем x+1. Он и является дополнительным множителем к числителю и знаменателю исходной рациональной дроби.

Примеры применения

Приведение к новому знаменателю наиболее часто применяется при сложении и вычитании алгебраических дробей. Выполнение этих действий требует приведения складываемых или вычитаемых дробей к одинаковому знаменателю, который имеет название общий знаменатель. С решениями соответствующих примеров можно ознакомиться в только что упомянутой статье.

Приведение к новому знаменателю позволяет упрощать алгебраические дробей, содержащие в своей записи дробные числовые коэффициенты. Например, если числитель и знаменатель дроби являются многочленами с дробными коэффициентами, то для упрощения записи целесообразно числитель и знаменатель умножить на наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов. В результате получится алгебраическая дробь, все коэффициенты в числителе и знаменателе которой будут целыми числами. Рассмотрим решение примера.

В заключение еще заметим, что умножение числителя и знаменателя алгебраической дроби на минус единицу позволяет изменять знаки у членов дроби.