Выражения, преобразование выражений

Возведение одночлена в степень, правило, примеры.


Ранее мы определили умножение одночлена на одночлен, это позволяет ввести еще одно действие – возведение одночлена в степень. Ниже мы получим правило возведения одночлена в степень с натуральным показателем, и рассмотрим решения примеров, чтобы разобрать все нюансы.


Правило возведения одночлена в степень<

Проследим все шаги, которые необходимо предпринять, чтобы возвести одночлен в степень. Это проще всего сделать, рассмотрев конкретный пример.

Возьмем одночлен стандартного вида, например, 2·x·y5, и возведем его, к примеру, в третью степень. Поставленной задаче отвечает выражение (2·x·y5)3, представляющее собой произведение трех множителей 2, x и y5 в третьей степени. Можно провести тождественное преобразование записанного выражения, причем сразу напрашивается применение свойств степени. Сначала используем свойство степени произведения: (2·x·y5)3=23·x3·(y5)3. Теперь, обратившись к свойству степени в степени, (y5)3 заменяем на y15, и получаем 23·x3·(y5)3=23·x3·y15. Еще можно выполнить возведение в степень числа 2. Так как 23=8, то в итоге приходим к выражению 8·x3·y15. Очевидно, оно представляет собой одночлен стандартного вида.

Из приведенных рассуждений, во-первых, отчетливо видны все действия, из которых состоит процесс возведения одночлена в степень. Соберем их вместе в виде правила возведения одночлена в степень.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно

Во-вторых, из разобранного выше примера видно, что результатом возведения одночлена в степень является новый одночлен. Здесь отметим, что если исходный одночлен записан в стандартном виде, то после его возведения в степень получится одночлен стандартного вида. Если же исходный одночлен дан в виде, отличном от стандартного, то целесообразно этот одночлен привести к стандартному виду перед возведением в степень. Если этого не сделать, то к стандартному виду придется приводить одночлен, полученный после применения записанного выше правила. Мы еще вернемся к этому моменту в следующем пункте.

К началу страницы

Примеры<


Пришло время решить несколько примеров возведения одночленов в степень. Это поможет отработать применение правила из предыдущего пункта. Начнем с простеньких примеров.

Пример.

Возведите одночлены в указанные степени: (x·y)10, и (−0,3·a2·b3·c4)3.

Решение.

Для возведения в степень первого одночлена применяем правило возведения произведения в степень: (x·y)10=x10·y10. Больше делать ничего не нужно, так как в полученном выражении нет ни степеней в степени, ни степеней чисел.

Переходим дальше. Сначала выполняем такой переход: . В последнем выражении осталось степень заменить ее значением. Так как , то .

Кратко возведение одночлена в степень для этого случая выглядит так: .

Переходим к последнему заданию. Сначала выполняем возведение произведения в степень: (−0,3·a2·b3·c4)3=(−0,3)3·(a2)3·(b3)3·(c4)3. Осталось воспользоваться свойством степени в степени, а также вычислить (−0,3)3. Так как (a2)3=a2·3=a6, (b3)3=b3·3=b9, (c4)3=c4·3=c12 и (−0,3)3=(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027, то в итоге имеем −0,027·a6·b9·c12.

Вот краткое решение: (−0,3·a2·b3·c4)3=(−0,3)3·(a2)3·(b3)3·(c4)3=−0,027·a6·b9·c12.

Ответ:

(x·y)10=x10·y10, и (−0,3·a2·b3·c4)3=−0,027·a6·b9·c12.

В следующем примере убедимся, что в результате возведения в степень одночлена в виде, отличном от стандартного, и соответствующего ему одночлена в стандартном виде, получаются тождественно равные одночлены.

Пример.

Выполните возведение одночлена 2·x3·5·x в квадрат.

Решение.

Исходный одночлен записан не в стандартном виде. Возведем его в квадрат: (2·x3·5·x)2=22·(x3)2·52·x2=4·x6·25·x2. Если полученный одночлен представить в стандартном виде, то он примет вид 100·x8.

А теперь сначала исходный многочлен запишем в стандартном виде 2·x3·5·x=10·x4, а теперь выполним возведение полученного одночлена во вторую степень: (10·x4)2=102·(x4)2=100·x8.

Очевидно, мы получили один и тот же результат. Таким образом, можно возводить в степень одночлены в виде, отличном от стандартного, либо сначала приводить их к стандартному виду, после чего возводить в степень, - результат будет один.

Ответ:

(2·x3·5·x)2=100·x8.

Наконец, стоит обратить внимание на возведение в степень одночленов, которые не содержат числовых множителей, но перед ними стоит знак минус, например, −x, −a4·b7·c2 и т.п. В этих случаях коэффициент одночлена равен −1, и его не помешает записать в явном виде перед выполнением возведения в степень. Это поможет избежать ошибок.

Пример.

Проведите возведение в степень (−x2·y4)3.

Решение.

Одночлен в скобках имеет коэффициент −1, запишем его в явном виде: (−x2·y4)3=(−1·x2·y4)3. Теперь действуем по правилу возведения одночлена в степень: (−1·x2·y4)3=(−1)3·(x2)3·(y4)3=−1·x6·y12. У полученного одночлена коэффициент −1 можно заменить знаком минус, в итоге имеем −x6·y12.

Итак, (−x2·y4)3=(−1·x2·y4)3=(−1)3·(x2)3·(y4)3=−1·x6·y12=−x6·y12.

Ответ:

(−x2·y4)3=−x6·y12.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.



К началу страницы