Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов.

От изучения одночленов переходим к знакомству с еще одним видом выражений - многочленами. В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5, 0, −1, x, 5·a·b³, x²·0,6·x·(−2)·y¹², и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x, a²+b² и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Например, многочлен 3·x⁴−2·x·y+3−y³ состоит из четырех членов: 3·x⁴, −2·x·y, 3 и −y³. Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Так x+y – это двучлен, а 2·x³·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b, где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x²+b·x+c, где a, b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1, x·7,2−4, а вот примеры квадратных трехчленов: x²+3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые. Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3, а также 5·x и 2·x. Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

В предыдущем примере 1 и −3, как и пара 5·x и 2·x, являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов.

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x²−x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x²−x²+2·x·z и x+x·y³·x·z²+3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x² и −x², а во втором – одночлен x·y³·x·z², вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду.

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x²·z+5, а многочлен 7·a+4·a·b+b³ не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов, находящихся в его составе.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x³−4 равна 3, так как входящие в его состав одночлены 5·x³ и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3, оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x²·y³−5·x⁴·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5, 4+1=5 и 1, то есть, 5.

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Коэффициенты членов многочлена

Пусть все члены многочлена являются одночленами стандартного вида. Коэффициенты одночленов в этом случае называют коэффициентами членов многочлена. Часто можно слышать, что коэффициенты членов многочлена называют коэффициентами многочлена.

Приведем пример. Рассмотрим многочлен 2·x−0,5·x·y+3·x+7. Он состоит из четырех одночленов 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7, их коэффициенты равны 2, −0,5, 3 и 7 соответственно. Таким образом, 2, −0,5, 3 и 7 – это коэффициенты членов 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7.