Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов.


От изучения одночленов переходим к знакомству с еще одним видом выражений - многочленами. В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.


Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5, 0, −1, x, 5·a·b3, x2·0,6·x·(−2)·y12, и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x, a2+b2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x4−2·x·y+3−y3 состоит из четырех членов: 3·x4, −2·x·y, 3 и −y3. Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x3·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b, где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x2+b·x+c, где a, b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1, x·7,2−4, а вот примеры квадратных трехчленов: x2+3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые. Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3, а также 5·x и 2·x. Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3, как и пара 5·x и 2·x, являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов.

Многочлен стандартного вида


Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Определение.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x2−x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x2−x2+2·x·z и x+x·y3·x·z2+3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x2 и −x2, а во втором – одночлен x·y3·x·z2, вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду.

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x2·z+5, а многочлен 7·a+4·a·b+b3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов, находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x3−4 равна 3, так как входящие в его состав одночлены 5·x3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3, оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x2·y3−5·x4·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5, 4+1=5 и 1, то есть, 5.

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a12−2·a·b·c·a·c·b+y2·z2−2·a12−a12.

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a12−2·a·b·c·a·c·b+y2·z2−2·a12−a12= =(3·a12−2·a12−a12)−2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y2·z2= =−2·a2·b2·c2+y2·z2.

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a2·b2·c2 и y2·z2. Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4. Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6, она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a2·b2·c2+y2·z2, а значит, и степенью исходного многочлена.

Ответ:

6.

Коэффициенты членов многочлена

Пусть все члены многочлена являются одночленами стандартного вида. Коэффициенты одночленов в этом случае называют коэффициентами членов многочлена. Часто можно слышать, что коэффициенты членов многочлена называют коэффициентами многочлена.

Приведем пример. Рассмотрим многочлен 2·x−0,5·x·y+3·x+7. Он состоит из четырех одночленов 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7, их коэффициенты равны 2, −0,5, 3 и 7 соответственно. Таким образом, 2, −0,5, 3 и 7 – это коэффициенты членов 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+