Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Разложение многочлена на множители.


Раскладывать многочлены на множители приходится при упрощении выражений (чтобы можно было провести сокращение), при решении уравнений или при разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби.

Имеет смысл говорить о разложении многочлена на множители, если его степень не ниже второй.

Многочлен первой степени называют линейным.

Рассмотрим сначала теоретические основы, затем перейдем непосредственно к способам разложения многочлена на множители.


Необходимая теория.

Теорема.

Любой многочлен степени n вида формула представляется произведением постоянного множителя при старшей степени формула и n линейных множителей формула, i=1, 2, …, n, то есть формула, причем формула, i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Эта теорема сформулирована для комплексных корней формула, i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов формула, k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

Если коэффициенты формула, k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.

К примеру, если корни формула и формула многочлена формула являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде формула, где формула

Замечание.

Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся.

Доказательство теоремы проводится с использованием основной теоремы алгебры и следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры.

Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный).

Теорема Безу.

При делении многочлена формула на (x-s) получается остаток, равный значению многочлена в точке s, то есть формула, где формула есть многочлен степени n-1.

Следствие из теоремы Безу.

Если s – корень многочлена формула, то формула.

Это следствие будем достаточно часто употреблять при описании решения примеров.

Разложение на множители квадратного трехчлена.


Квадратный трехчлен формула раскладывается на два линейных множителя: формула, где формула и формула являются корнями (комплексными или действительными).

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения.

Пример.

Разложить квадратный трехчлен формула на множители.

Решение.

Найдем корни квадратного уравнения формула.

Дискриминант уравнения равен формула, следовательно,
формула

Таким образом, формула.

Для проверки можно раскрыть скобки: формула. При проверке пришли к исходному трехчлену, поэтому разложение выполнено верно.

Пример.

Разложить на множители квадратный трехчлен формула.

Решение.

Соответствующее квадратное уравнение имеет вид формула.

Найдем его корни.
формула

Поэтому, формула.

Пример.

Разложить многочлен на множители формула.

Решение.

Найдем корни квадратного уравнения формула.
формула

Получили пару комплексно сопряженных корней.

Разложение многочлена будет именть вид формула.

Пример.

Разложить на множители квадратный трехчлен формула.

Решение.

Решим квадратное уравнение формула.
формула

Поэтому,
формула

Замечание:

В дальнейшем, при отрицательном дискриминанте, мы будем оставлять многочлены второго порядка в исходном виде, то есть не будем раскладывать их на линейные множители с комплексными свободными членами.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень формула и понижается степень многочлена на единицу делением на формула. У полученного многочлена ищется корень формула и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя.

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид формула.

Очевидно, что корнем такого многочлена является формула, то есть многочлен представим в виде формула.

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки.

Пример.

Разложить многочлен третьей степени формула на множители.

Решение.

Очевидно, что формула является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
формула

Найдем корни квадратного трехчлена формула
формула

Таким образом,
формула

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида формула, коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Пример.

Разложить на множители выражение формула.

Решение.

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18: формула. То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:
формула

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
формула

Осталось разложить квадратный трехчлен формула.

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

Ответ:

формула.

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида формула, причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Пример.

Разложить на множители выражение формула.

Решение.

Выполнив замену переменной y=2x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4.
формула

Если полученная функция формула имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:
формула

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.
формула

То есть, y=-5 является корнем формула, следовательно, формула является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена формула на двучлен формула.
формула

Таким образом,
формула

Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен формула
формула

Следовательно,
формула

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители.

Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Но, как бы нам не хотелось, некоторые многочлены (а точнее подавляющее большинство) так и не получится представить в виде произведения.

Способ группировки.

Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки.

Пример.

Разложить многочлен формула на множители.

Решение.

Так как коэффициенты являются целыми числами, то могут быть целые корни среди делителей свободного члена. Проверим значения 1, -1, 2 и -2, вычислив значение многочлена в этих точках.
формула

То есть, целых корней нет. Будем искать другой способ разложения.

Проведем группировку:
формула

После группировки исходный многочлен представился в виде произведения двух квадратных трехчленов. Разложим их на множители.
формула

Следовательно,
формула

Замечание.

При всей видимой простоте группировки очень не просто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что экспериментируем и еще раз экспериментируем.

Пример.

Разложить на множители формула.

Решение.

Целых корней многочлен не имеет (нужно проверить лишь делители числа 2).

Проведем группировку слагаемых:
формула

Разложив на множители каждый из полученных квадратных трехчленов, придем к результату:
формула

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители.

Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители.

К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля, то есть, являются коэффициентами бинома Ньютона.

Пример.

Разложить многочлен формула на множители.

Решение.

Преобразуем выражение к виду:
формула

Последовательность коэффициентов суммы в скобках явно указывают, что это есть формула.

Следовательно, формула.

Теперь применим формулу разности квадратов:
формула

Выражение во второй скобке действительный корней не имеет, а для многочлена из первой скобки еще раз применим формулу разности квадратов:
формула

Пример.

Разложить на множители формула.

Решение.

Преобразуем выражение:
формула

Применим формулу сокращенного умножения разность кубов:
формула

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители.

Часто замена переменной позволяет понизить степень многочлена и разложить его на множители.

Пример.

Разложить на множители формула.

Решение.

Напрашивается замена формула:
формула

Корнями полученного квадратного трехчлена являются y=-2 и y=-3, поэтому,
формула

Применяем формулу сокращенного умножения сумма кубов:
формула

Так получили искомое разложение.

В большинстве случаев рассмотренные способы помогут Вам разложить многочлен на множители, если он вообще разложим.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+