Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Действия с многочленами.


С многочленами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в натуральную степень и деление на ненулевой многочлен. В этой статье мы определим указанные действия с многочленами, то есть, разберемся, как они выполняются и что получается в результате.


Сложение и вычитание

Два первых действия с многочленами – сложение и вычитание – стоит рассматривать вместе, так как они выполняются по одному принципу:

Для пояснения приведем решение примера.

Пример.

Проведите сложение и вычитание многочленов 7·x2−1 и x·y−x2+2.

Решение.

Начнем со сложения. Составим сумму (7·x2−1)+(x·y−x2+2). После раскрытия скобок она примет вид 7·x2−1+x·y−x2+2. Осталось полученный многочлен привести к стандартному виду: 7·x2−1+x·y−x2+2=6·x2+1+x·y.

Вычитание многочленов проводится аналогично:
(7·x2−1)−(x·y−x2+2)=7·x2−1−x·y+x2−2=8·x2−3−x·y.

Ответ:

(7·x2−1)+(x·y−x2+2)=6·x2+1+x·y и (7·x2−1)−(x·y−x2+2)=8·x2−3−x·y.

Рассмотренные действия более полно освещены в статье сложение и вычитание многочленов.

Умножение


Переходим к следующему действию – умножению многочлена на многочлен. Правило умножения многочлена на многочлен базируется на распределительном свойстве умножения и сводит умножение многочленов к умножению друг на друга всех составляющих их членов, то есть, к умножению одночленов:
чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.

После выполнения указанных действий будет получен новый многочлен. Иными словами, результатом умножения многочленов является новый многочлен.

Пример.

Умножьте многочлен a−b на многочлен −3·a+b.

Решение.

Записываем произведение многочленов: (a−b)·(−3·a+b). Берем первый член первого многочлена a−b, то есть, a, и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем произведения a·(−3·a) и a·b. Теперь берем второй член первого многочлена, то есть, −b, и умножаем его на все члены второго многочлена, имеем произведения −b·(−3·a) и −b·b. Осталось сложить все полученные произведения: a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b=−3·a2+4·a·b−b2.

Покажем, как записывается краткое решение:
(a−b)·(−3·a+b)=a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b=−3·a2+4·a·b−b2.

Ответ:

(a−b)·(−3·a+b)=−3·a2+4·a·b−b2.

Частным случаем умножения многочленов является умножение многочлена и одночлена.

Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к статье умножение многочлена на многочлен. Там теория представлена более полно, а также приведены подробные решения типовых примеров.

Возведение многочлена в степень

После того, как мы определили умножение многочленов, можно говорить о возведении многочлена в натуральную степень. Это действие представляет собой умножение исходного многочлена на себя столько раз, сколько указывает показатель степени. Например, возведению многочлена 3·x+1 в четвертую степень соответствует произведение четырех многочленов вида (3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1).

Пример.

Возведите многочлен 2·a·b−b3 во вторую степень.

Решение.

Сначала записываем степень многочлена, дальше переходим к умножению, наконец, выполняем это действие с многочленами:
(2·a·b−b3)2=(2·a·b−b3)·(2·a·b−b3)=
=2·a·b·(2·a·b)+2·a·b·(−b3)−b3·(2·a·b)−
b3·(−b3)=4·a2·b2−4·a·b4+b6.

Ответ:

(2·a·b−b3)2=4·a2·b2−4·a·b4+b6.

В заключение этого пункта стоит отметить, что при возможности для ускорения процесса возведения многочлена в степень можно использовать формулы сокращенного умножения.

Деление

В результате выполнения всех рассмотренных выше действий с многочленами – сложения, вычитания, умножения и возведения в степень, получается многочлен. Деление многочлена на многочлен отличается от указанных действий в том смысле, что в общем случае результат деления не является многочленом. Например, деление многочлена x·y−1 на многочлен x2+y2 дает алгебраическую дробь .

Однако, в частных случаях может получиться и многочлен, например, (x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1):(x+1)=x·y+y2−1. В этих случаях говорят, что один многочлен делится на другой (по аналогии с делимостью целых чисел), а само деление сводится к представлению делимого многочлена в виде произведения делителя и еще одного многочлена, который и является частным от деления. В нашем примере делимое x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1 представляется в виде произведения (x+1)·(x·y+y2−1).

Особое внимание уделяется делению многочленов, содержащих единственную переменную. Пусть задан многочлен с одной действительной переменной x, обозначим его P(x).

Определение.

Говорят, что многочлен P(x) делится без остатка (или просто делится) на некоторый многочлен M(x), если существует многочлен Q(x) такой, что P(x)=M(x)·Q(x).

Например, многочлен x3+2·x2+3·x+6 делится на многочлен x+2, так как существует многочлен x2+3, и справедливо равенство x3+2·x2+3·x+6=(x+2)·(x2+3). А многочлен x2+1 не делится на x3−5 без остатка, так как не существует такого многочлена Q(x), чтобы выполнялось равенство x2+1=(x3−5)·Q(x).

Деление многочленов без остатка рассматривается как частный случай деления многочленов с остатком, при котором остаток равен нулю (нулевому многочлену). Вообще, при делении многочлена P(x) степени n (n≥1) на многочлен Q(x) степени k (1≤k≤n) в частном получается некоторый многочлен M(x) степени n−k и многочлен-остаток R(x), степень которого строго меньше k. Это утверждение можно оформить по аналогии с теоремой о делимости целых чисел.

Теорема.

Любой многочлен P(x) степени n (n≥1) можно представить в виде P(x)=M(x)·Q(x)+R(x), где Q(x) – некоторый многочлен степени k (1≤k≤n), M(x) – многочлен степени n−k и R(x) – многочлен, степень которого меньше k, причем такое представление единственно (если под Q(x), M(x) и R(x) понимать любой многочлен из множества тождественно равных им многочленов).

Например, при делении многочлена 3·x4+2·x2−1 на многочлен x2+x получается частное 3·x2−3·x+5 и остаток −5·x−1. Это действительно так, так как справедливо равенство 3·x4+2·x2−1=(x2+x)·(3·x2−3·x+5)−5·x−1, что несложно проверить, выполнив действия с многочленами в его правой части.

При делении многочлена P(x) на многочлен Q(x), степень которого больше степени делимого многочлена P(x), частным всегда будет нулевой многочлен, а остаток будет равен делимому многочлену P(x). Например, при делении x2+1 на многочлен x3+2·x2−1 частым будет 0, а остатком x2+1.

Деление многочлена на многочлен удобно выполнять уголком, по аналогии с делением чисел. Как выполняется это действие, подробно и на примерах разобрано в статье деление многочлена на многочлен.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+