Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Действия с одночленами.


После того, как получены начальные сведения об одночленах, можно поговорить об их практическом применении при решении примеров и задач. А на практике наиболее часто приходится выполнять действия с одночленами.

В этой статье мы осветим следующие действия с одночленами: сложение и вычитание, умножение и возведение в степень с натуральным показателем, а также деление. Здесь мы разберемся с тем, как эти операции определяются, по каким правилам они выполняются и что получается в результате. Весь материал, как обычно, будем пояснять примерами с описаниями их решений.

И еще один момент. В подавляющем числе случаев действия с одночленами удобно проводить, когда они записаны в стандартном виде. Поэтому, целесообразно предварительно привести одночлены к стандартному виду. Дальше в разговоре о действиях с одночленами будем считать, что одночлены заданы в стандартном виде.


Сложение и вычитание одночленов

Первыми действиями, которые определяют с одночленами, являются сложение и вычитание. Но здесь есть одно но: в общем случае сложение и вычитание одночленов в результате дают многочлен, и лишь в частных случаях – одночлен.

При сложении и вычитании одночленов сначала составляется их сумма или разность соответственно. После этого полученное выражение упрощается: раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые при их наличии. Рассмотрим пример для пояснения.

Пример.

Сложите одночлены −3·x и 2,72·x3·y5·z.

Решение.

Составляем сумму исходных одночленов. Для этого заключаем их в скобки, и между ними ставим знак плюс: (−3·x)+(2,72·x3·y5·z). После раскрытия скобок это выражение примет вид −3·x+2,72·x3·y5·z. Полученное выражение есть многочлен стандартного вида. Он и является результатом сложения исходных одночленов.

Ответ:

(−3·x)+(2,72·x3·y5·z)=−3·x+2,72·x3·y5·z.

Абсолютно по этим же принципам проводится сложение и вычитание трех, четырех и большего числа одночленов.

Пример.

Выполните с одночленами указанные действия .

Решение.

Сначала раскроем скобки: . Очевидно, в полученном выражении можно привести подобные слагаемые: .

Так мы выполнили действия с одночленами, в итоге получили многочлен.

Ответ:

.

Заметим, что сложение и вычитание двух одночленов можно определить так, чтобы в результате получался одночлен. Для этого достаточно наложить ограничения на складываемые и вычитаемые одночлены. Об этом мы детально поговорим в отдельной статье под заголовком сложение и вычитание одночленов.

Умножение одночленов


Следующее действие с одночленами – умножение – определяется полноценно, безо всяких дополнительных условий для умножаемых одночленов, в том смысле, что результатом выполнения этого действия всегда является одночлен.

Умножение одночленов проводится в соответствии со следующим правилом:

Покажем решение примера.

Пример.

Перемножьте два одночлена и .

Решение.

Составляем произведение: . После раскрытия скобок оно примет вид . Теперь группируем числовые множители, и множители с одинаковыми переменными: . Остается лишь выполнить умножение чисел в первых скобках, а в остальных – воспользоваться свойством степеней, имеем .

Ответ:

.

Аналогично умножаются три и большее количество одночленов. Примеры с решениями для этих случаев, а также более детальное описание этого действия смотрите в материале умножение одночленов.

Возведение одночлена в степень

Известно, что степень с натуральным показателем представляет собой произведение одинаковых множителей, определяемых основанием степени, количество которых указывает показатель. Исходя из этих соображений, возведение одночлена в натуральную степень можно свести к умножению одинаковых одночленов. Рассмотрим пример.

Пример.

Возведите одночлен −2·a·b4 в третью степень.

Решение.

Указанное действие можно заменить умножением трех одночленов −2·a·b4. То есть, (−2·a·b4)3=(−2·a·b4)·(−2·a·b4)·(−2·a·b4)=((−2)·(−2)·(−2))·(a· a· a)·(b4·b4·b4)=−8·a3·b12.

Ответ:

(−2·a·b4)3=−8·a3·b12.

Однако такой подход неудобен, когда показатель степени является достаточно большим числом. В этом случае возведение одночлена в степень проводится на базе свойств степени: степени произведения и степени в степени .

Покажем решение предыдущего примера этим способом.

Пример.

Возведите в куб одночлен −2·a·b4.

Решение.

Свойство степени произведения позволяет нам осуществить следующий переход (−2·a·b4)3=(−2)3·a3·(b4)3. Остается возвести в степень число −2 и применить свойство степени в степени: (−2)3·(a)3·(b4)3=−8·a3·b4·3=−8·a3·b12.

Ответ:

−2·a·b4=−8·a3·b12.

Для более полной информации по этому действию с одночленами обращайтесь к статье возведение одночлена в степень.

Деление одночлена на одночлен

Обзор действий с одночленами завершаем делением одночленов. Результатом деления одночлена на одночлен в общем случае является рациональная (алгебраическая) дробь, и лишь в частных случаях – одночлен. И сразу нужно сказать, что не определяется деление на нулевой одночлен, так как не определено деление на нуль.

Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно записать их отношение в виде рациональной дроби, после чего при возможности выполнить ее сокращение.

Пример.

Разделите одночлен −9·x4·y3·z7 на одночлен −6·p3·t5·x2·y2.

Решение.

Запишем соответствующую дробь: . Выполнив сокращение алгебраической дроби, получаем .

Ответ:

.

Заметим, что можно указать условия, при которых деление одночленов в частном даст одночлен. О них мы побеседуем в статье деление одночленов.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+