Действия с дробями, правила, примеры, решения
Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B, где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: 
, 
.
Нам известны правила, по которым выполняются действия с обыкновенными дробями. По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:
-
Чтобы сложить (вычесть) две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить (вычесть) числители, а знаменатель оставить прежним, то есть,
, где a, c и d≠0 – некоторые действительные числа или числовые выражения.
-
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, после чего сложить (вычесть) полученные дроби с одинаковыми знаменателями. В буквенном виде
, где a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 – такие действительные числа, что b·p=d·r=s. В частности, если p=d и r=b имеем 
.
-
Чтобы умножить две дроби, надо перемножить числители, записав произведение в числитель новой дроби, и перемножить знаменатели, записав их произведение в знаменатель, то есть,
, где a, b≠0, c, d≠0 –действительные числа.
-
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (с переставленными местами числителем и знаменателем):
.
Обоснование правил
Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:
- дробная черта - это по сути знак деления,
- деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
- свойств действий с действительными числами,
- основного свойства дроби и его обобщенном понимании,
- и свойств числовых равенств.
Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:
Примеры
Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.
Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби 
и 
. Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем 
. Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: 
. Итак, 
.
Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем 
.
Теперь вычтем из дроби 
дробь 
. Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю. Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.
Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.
Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей 
и 1/2. Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, 
. В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2. После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид 
. А для второй дроби дополнительным множителем является выражение 
. С его помощью дробь 1/2 приводится к виду 
. Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:
В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей 
и 
произведение 
. Здесь в качестве общего знаменателя можно взять 
.
Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби 
и 
. Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем 
. Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: 
.
Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: 
. Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):
Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1, поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении 
корень из трех дробью 
, мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: 
.
Выполнение действий с дробями, содержащими переменные
Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.
Докажем, что для любых выражений A, C и D (D тождественно не равно нулю) имеет место равенство 
на его области допустимых значений переменных.
Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A, C и D принимают значения a0, c0 и d0. Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение 
обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида 
, которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна 
. Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение 
обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.
Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, 
и 
, или 
и 
. А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.
Пример.
Выполнить действия с дробями: а) 
, б) 
, в) 
.
Решение.
а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем 
. Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые: 
.
б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: 
. Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2)2 (смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: 
.
в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.
Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: 
. Таким образом, 
. Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 
.
Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на 
(это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Пример.
Выполнить действия с дробями: а) 
, б) 
, в) 
.
Решение.
а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение 
. В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение 
, а для второй дроби – число 3. Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем
б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, 
. Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x4, а для второй – ln(x+1). Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:
в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению 
. Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю 
. При таком подходе решение будет иметь следующий вид:
Ответ:
а)
б)
в)
Примеры умножения дробей с переменными
Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.
Пример.
Умножить дроби 
и 
.
Решение.
Выполняем умножение
Не помешаем множитель 3 в числителе перенести на первое место, а еще полученную дробь можно сократить на x2, в результате чего приходим к дроби 
.
Ответ:
Деление
С делением дробей общего вида с переменными нет ничего нового: от деления переходят к умножению на обратную дробь, которой является дробь с переставленными числителем и знаменателем. Например, если требуется разделить дробь 
на дробь 
, то частное 
заменяется произведением 
, которое мы нашли в предыдущем пункте.
Возведение в степень
Закончим рассмотрение действий с дробями общего вида возведением в степень. В случае натурального показателя степени это действие можно рассматривать как умножение одинаковых дробей в количестве, определяемом показателем. Однако, при возведении дробей в степень лучше придерживаться общего подхода, базирующегося одном из свойств степеней, который подходит не только для натуральных показателей, но и для любых действительных. Так для любых выражений A и C, где C – тождественно не равно нулю, и любого действительного числа r на ОДЗ для выражения 
справедливо равенство 
. Понятно, что результатом возведения дроби в степень является дробь.
Остается лишь привести пример:
.
Порядок выполнения действий с дробями
Выше мы разобрали, по каким правилам выполняются действия с дробями общего вида. Эти действия мы разбирали по отдельности. Но на практике часто приходится работать с выражениями, содержащими несколько дробей, соединенных знаками действий. Действия с дробями в подобных выражениях выполняются в строгом соответствии с принятым порядком выполнения действий: сначала возведение в степень, умножение и деление, затем – сложение и вычитание. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках. Покажем, как учитывается порядок выполнения действий с дробями на примере.
Пример.
Выполните действия с дробями в выражении 
.
Решение.
В глаза бросается одинаковый знаменатель дробей 
и 
, но в данном случае начинать с вычитания мы не имеем права, так как в исходном выражении содержится умножение (которое является действием второй ступени, а действия второй ступени, как известно, выполняются перед действиями первой ступени, одним из которых является вычитание). Более того, частью исходного выражения является выражение в скобках, значит, с выполнения действий в выражении в скобках и нужно начинать: 
. Подставив этот результат в исходное выражение, получаем 
.
Теперь выполняем умножение дробей: 
. После подстановки этого результата выражение принимает вид 
, и дело остается за вычитанием дробей с разными знаменателями. Проводим это действие:
Ответ:
.
Выполнение действий с дробями часто является частью процесса преобразования дробных выражений.