Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Действия с алгебраическими дробями.

После того, как мы получили начальные сведения об алгебраических дробях, логично перейти к разговору о действиях с алгебраическими дробями. С алгебраическими дробями определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в натуральную степень. Причем все эти действия замкнуты, в том смысле, что в результате их выполнения получается алгебраическая дробь. Разберем каждое из них по порядку.

Да, сразу стоит заметить, что действия с алгебраическими дробями являются обобщениями соответствующих действий с обыкновенными дробями. Поэтому соответствующие правила практически дословно совпадают с правилами выполнения сложения и вычитания, умножения, деления и возведения в степень обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Сложение любых алгебраических дробей подходит под один из двух следующих случаев: в первом складываются дроби с одинаковыми знаменателями, во втором – с разными. Начнем с правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.

Озвученное правило позволяет перейти от сложения алгебраических дробей к сложению многочленов, находящихся в числителях. Например, .

Для сложения алгебраических дробей с разными знаменателями действовать нужно по следующему правилу: привести их к общему знаменателю, после чего сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например, при сложении алгебраических дробей и их сначала нужно привести к общему знаменателю, в результате они примут вид и соответственно, после чего выполняется сложение этих дробей с одинаковыми знаменателями: .

В статье сложение и вычитание алгебраических дробей собрана детальная информация, касающаяся этого действия. Там очень подробно описан процесс приведения дробей к общему знаменателю (он обычно сложнее, чем последующее сложение дробей с одинаковыми знаменателями), и приведены решения примеров.

Нужно иметь в виду, что в результате сложения алгебраических дробей может получиться сократимая дробь, в этом случае нужно будет выполнить сокращение алгебраической дроби.

Вычитание

Следующее действие – вычитание алгебраических дробей – выполняется аналогично сложению. Если знаменатели исходных алгебраических дробей одинаковые, то нужно просто выполнить вычитание многочленов в числителях, а знаменатель оставить прежним. Если же знаменатели различны, то сначала выполняется приведение к общему знаменателю, после чего выполняется вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Приведем примеры.

Выполним вычитание алгебраических дробей и , их знаменатели одинаковые, поэтому . Полученную алгебраическую дробь можно еще сократить: .

Теперь вычтем из дроби дробь . Эти алгебраические дроби с разными знаменателями, поэтому, сначала приводим их к общему знаменателю, который в данном случае есть 5·x·(x-1), имеем и . Осталось выполнить вычитание:

Более полную информацию о данном действии смотрите в упомянутой выше статье сложение и вычитание алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

Алгебраические дроби можно умножать. Выполнение этого действия проводится аналогично умножению обыкновенных дробей по следующему правилу: чтобы умножить алгебраические дроби нужно отдельно перемножить числители, и отдельно – знаменатели.

Приведем пример. Умножим алгебраическую дробь на дробь . Согласно озвученному правилу имеем . Осталось полученную дробь преобразовать к алгебраической дроби, для этого в данном случае нужно выполнить умножение одночлена и многочлена (а в общем случае - умножение многочленов) в числителе и знаменателе: .

Стоит заметить, что перед умножением алгебраических дробей желательно разложить на множители многочлены, находящиеся в их числителях и знаменателях. Это связано с возможностью сокращения получаемой дроби. Например, .

Более детально это действие разобрано в статье умножение и деление алгебраических дробей.

Деление

Движемся дальше по действиям с алгебраическими дробями. На очереди – деление алгебраических дробей. Следующее правило сводит деление алгебраических дробей к умножению: чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Под алгебраической дробью, обратной к данной дроби, понимается дробь с переставленными местами числителем и знаменателем. Иными словами, две алгебраические дроби считаются взаимно обратными, если их произведение тождественно равно единице (по аналогии с взаимно обратными числами).

Приведем пример. Выполним деление . Дробь, обратная делителю , есть . Таким образом, .

Для получения более детальной информации обращайтесь к упомянутой в предыдущем пункте статье умножение и деление алгебраических дробей.

Возведение алгебраической дроби в степень

Наконец, переходим к последнему действию с алгебраическими дробями – возведению в натуральную степень. Определение степени с натуральным показателем, а также то, как мы определили умножение алгебраических дробей, позволяет записать правило возведения алгебраической дроби в степень: нужно в эту степень отдельно возвести числитель, и отдельно – знаменатель.

Покажем пример выполнения этого действия. Возведем алгебраическую дробь во вторую степень. По приведенному правилу имеем . Осталось возвести в степень одночлен в числителе, а также возвести в степень многочлен в знаменателе, что даст алгебраическую дробь вида .

Решение других характерных примеров показаны в статье возведение алгебраической дроби в степень.