Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Умножение и деление алгебраических дробей.


Продолжаем изучать действия с алгебраическими дробями. Сейчас мы поговорим про умножение и деление алгебраических дробей. Сначала сформулируем соответствующие правила, после чего перейдем к применению правил умножения и деления алгебраических дробей при решении примеров.


Правила умножения и деления алгебраических дробей

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, по которым проводятся соответствующие действия с обыкновенными дробями. Напомним их.

Нам известно, что при умножении обыкновенных дробей отдельно перемножаются числители и отдельно – знаменатели, первое произведение записывается числителем, а второе – знаменателем. Например, .

А деление обыкновенных дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю. К примеру, .

Теперь можно увидеть отчетливое сходство с правилами умножения и деления алгебраических дробей, которые мы сейчас и сформулируем.

Умножение двух и вообще любого числа алгебраических дробей в результате дает дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей. Этому правилу отвечает равенство , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b и d – ненулевые.

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, деление алгебраических дробей выполняется следующим образом , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые.

Здесь стоит обратить внимание на то, что под алгебраической дробью, обратной данной, понимают такую дробь, произведение которой с исходной тождественно равно единице. То есть, взаимно обратные алгебраические дроби определяются аналогично взаимно обратным числам. И из того, как мы определили умножение алгебраических дробей, следует, что взаимно обратные алгебраические дроби различаются тем, что у них числители и знаменатели переставлены местами. Например, обратной к алгебраической дроби будет дробь .

Характерные примеры с детальными решениями


Теперь разберемся с применением озвученных правил умножения и деления алгебраических дробей к решению примеров. Начнем с простейшего примера.

Пример.

Выполните умножение и деление алгебраических дробей и .

Решение.

Начнем с умножения. По правилу нам нужно отдельно умножить числители и отдельно знаменатели: . Осталось лишь привести к стандартному виду одночлен в числителе, и выполнить умножение многочленов в знаменателе: .

Переходим к делению алгебраических дробей. Дробь, обратная к дроби , имеет вид . Поэтому . От деления мы перешли к умножению, осталось закончить решение: .

Ответ:

и .

Напомним, что при умножении и делении обыкновенных дробей мы часто получали сократимые дроби, и перед записью ответа выполняли их сокращение. Например, . Нужно иметь в виду, что и при умножении и делении алгебраических дробей могут получаться сократимые дроби. Поэтому, учитывая возможность сокращения получаемой дроби, до выполнения умножения и деления полезно разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей. В этом нам добрую службу сослужит материал статьи разложение многочлена на множители.

Пример.

Найдите произведение алгебраических дробей и .

Решение.

Перед выполнением умножения дробей, разложим на множители многочлен в числителе первой дроби и знаменателе второй. В этом нам помогут соответствующие формулы сокращенного умножения: x2+2·x+1=(x+1)2 и x2−1=(x−1)·(x+1). Таким образом, .

Очевидно, полученную дробь можно сократить (этот процесс мы разбирали в статье сокращение алгебраических дробей).

Осталось лишь записать результат в виде алгебраической дроби, для чего нужно выполнить умножение одночлена на многочлен в знаменателе: .

Обычно решение записывают без пояснений в виде последовательности равенств:

Ответ:

.

Иногда с алгебраическими дробями, которые нужно умножить или разделить, следует выполнить некоторые преобразования, чтобы выполнение указанных действий проходило проще и быстрее.

Пример.

Разделите алгебраическую дробь на дробь .

Решение.

Упростим вид алгебраической дроби , избавившись от дробного коэффициента. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 7, что нам позволяет сделать основное свойство алгебраической дроби, имеем .

Теперь стало видно, что знаменатель полученной дроби и знаменатель дроби , на которую нам нужно выполнить деление, являются противоположными выражениями. Изменим знаки числителя и знаменателя дроби , имеем .

Наконец, можно переходить непосредственно к делению алгебраических дробей:

Ответ:

.

Умножение и деление алгебраической дроби и многочлена

Сформулированные в первом пункте правила умножения и деления можно распространить на случай умножения или деления на многочлен. Для этого многочлен нужно представить в виде алгебраической дроби со знаменателем 1, аналогично тому, как мы представляли натуральное число в виде дроби со знаменателем 1. Например, многочлен x2+x−4 можно заменить тождественно равной ему дробью .

Пример.

Выполните деление .

Решение.

Заменим многочлен x2−16 алгебраической дробью со знаменателем 1, это нам позволит перейти от деления на многочлен к делению алгебраических дробей:

Ответ:

.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+