Умножение и деление алгебраических дробей.
Продолжаем изучать действия с алгебраическими дробями. Сейчас мы поговорим про умножение и деление алгебраических дробей. Сначала сформулируем соответствующие правила, после чего перейдем к применению правил умножения и деления алгебраических дробей при решении примеров.
Правила умножения и деления алгебраических дробей
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, по которым проводятся соответствующие действия с обыкновенными дробями. Напомним их.
Нам известно, что при умножении обыкновенных дробей отдельно перемножаются числители и отдельно – знаменатели, первое произведение записывается числителем, а второе – знаменателем. Например, 
.
А деление обыкновенных дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю. К примеру, 
.
Теперь можно увидеть отчетливое сходство с правилами умножения и деления алгебраических дробей, которые мы сейчас и сформулируем.
Умножение двух и вообще любого числа алгебраических дробей в результате дает дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей. Этому правилу отвечает равенство 
, где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b и d – ненулевые.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, деление алгебраических дробей выполняется следующим образом 
, где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые.
Здесь стоит обратить внимание на то, что под алгебраической дробью, обратной данной, понимают такую дробь, произведение которой с исходной тождественно равно единице. То есть, взаимно обратные алгебраические дроби определяются аналогично взаимно обратным числам. И из того, как мы определили умножение алгебраических дробей, следует, что взаимно обратные алгебраические дроби различаются тем, что у них числители и знаменатели переставлены местами. Например, обратной к алгебраической дроби 
будет дробь 
.
Характерные примеры с детальными решениями
Теперь разберемся с применением озвученных правил умножения и деления алгебраических дробей к решению примеров. Начнем с простейшего примера.
Пример.
Выполните умножение и деление алгебраических дробей 
и 
.
Решение.
Начнем с умножения. По правилу нам нужно отдельно умножить числители и отдельно знаменатели: 
. Осталось лишь привести к стандартному виду одночлен в числителе, и выполнить умножение многочленов в знаменателе: 
.
Переходим к делению алгебраических дробей. Дробь, обратная к дроби , имеет вид 
. Поэтому 
. От деления мы перешли к умножению, осталось закончить решение: 
.
Ответ:
и 
.
Напомним, что при умножении и делении обыкновенных дробей мы часто получали сократимые дроби, и перед записью ответа выполняли их сокращение. Например, 
. Нужно иметь в виду, что и при умножении и делении алгебраических дробей могут получаться сократимые дроби. Поэтому, учитывая возможность сокращения получаемой дроби, до выполнения умножения и деления полезно разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей. В этом нам добрую службу сослужит материал статьи разложение многочлена на множители.
Пример.
Найдите произведение алгебраических дробей 
и 
.
Решение.
Перед выполнением умножения дробей, разложим на множители многочлен в числителе первой дроби и знаменателе второй. В этом нам помогут соответствующие формулы сокращенного умножения: x2+2·x+1=(x+1)2 и x2−1=(x−1)·(x+1). Таким образом, 
.
Очевидно, полученную дробь можно сократить 
(этот процесс мы разбирали в статье сокращение алгебраических дробей).
Осталось лишь записать результат в виде алгебраической дроби, для чего нужно выполнить умножение одночлена на многочлен в знаменателе: 
.
Обычно решение записывают без пояснений в виде последовательности равенств:
Ответ:
.
Иногда с алгебраическими дробями, которые нужно умножить или разделить, следует выполнить некоторые преобразования, чтобы выполнение указанных действий проходило проще и быстрее.
Пример.
Разделите алгебраическую дробь 
на дробь 
.
Решение.
Упростим вид алгебраической дроби , избавившись от дробного коэффициента. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 7, что нам позволяет сделать основное свойство алгебраической дроби, имеем 
.
Теперь стало видно, что знаменатель полученной дроби и знаменатель дроби , на которую нам нужно выполнить деление, являются противоположными выражениями. Изменим знаки числителя и знаменателя дроби , имеем 
.
Наконец, можно переходить непосредственно к делению алгебраических дробей:
Ответ:
.
Умножение и деление алгебраической дроби и многочлена
Сформулированные в первом пункте правила умножения и деления можно распространить на случай умножения или деления на многочлен. Для этого многочлен нужно представить в виде алгебраической дроби со знаменателем 1, аналогично тому, как мы представляли натуральное число в виде дроби со знаменателем 1. Например, многочлен x2+x−4 можно заменить тождественно равной ему дробью 
.
Пример.
Выполните деление 
.
Решение.
Заменим многочлен x2−16 алгебраической дробью со знаменателем 1, это нам позволит перейти от деления на многочлен к делению алгебраических дробей:
Ответ:
.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.