Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Определение одночлена, сопутствующие понятия, примеры.


Одним из видов выражений курса алгебры являются одночлены. В этой статье мы разберемся, какие выражения называют одночленами, скажем про их стандартный вид и приведем примеры. А после этого подробно остановимся на сопутствующих понятиях – степени и коэффициенте одночлена.


Что такое одночлен? Определение, примеры

Первое запланированное знакомство с одночленами происходит в 7 классе средней школы. Там дается следующее определение одночлена:

Определение.

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.

Озвученное определение позволяет привести примеры одночленов. Каждое из чисел 1, 7, 1 002, 0, −1, −7, 0,8, 1/4, - это одночлен. Любая переменная, к примеру, a, b, p, q, t, x, y, z – это тоже одночлены по определению. Одночленами являются и степени чисел и переменных, например, 23, (−3,41)7, x2 и t115. Но наиболее яркими представителями одночленов являются произведения чисел, переменных и их степеней: 5·x, 7·(−3)·x·y3·6, x·x·y3·x·y2·z и т.п. Из приведенных примеров видно, что в составе одночлена может быть как одно, так и несколько чисел, как одна, так и несколько переменных и их степеней, причем они могут повторяться.

До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые и рациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так , 2·π·x3 и - это тоже одночлены.

Стандартный вид одночлена


С одночленами удобно работать, когда они приведены к так называемому стандартному виду.

Определение.

Стандартный вид одночлена - это такой вид одночлена, в котором он представлен как произведение числового множителя (который обычно записывают перед остальными множителями слева и называют коэффициентом одночлена) и натуральных степеней различных переменных.

Для пояснения приведем примеры нескольких одночленов стандартного вида: 5 (этот одночлен не содержит переменных), 2·a, −7·x2·y3, , x·y (здесь коэффициент равен единице), −x3 (здесь коэффициент равен −1). А вот одночлены 4·a·a2·a3 и 5·x·(−1)·3·y2 записаны не в стандартном виде, так как первый из них содержит одинаковые переменные, а второй – несколько числовых множителей.

Отметим, что в одночленах стандартного вида принято буквенные множители записывать в алфавитном порядке. Например, одночлен b4·6·a·z2·c предпочтительнее записать как 6·a·b4·c·z2. Давайте договоримся в дальнейшем везде записывать переменные в составе одночлена в алфавитном порядке. Записывать переменные не в алфавитном порядке мы будем только тогда, когда будем преследовать какую-то определенную цель.

Любой одночлен путем тождественных преобразований может быть представлен в стандартном виде. Иными словами, можно любой одночлен привести к стандартному виду.

Степень одночлена

Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.

Определение.

Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.

Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a1. Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a2·x·y3·a2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a, x и y равна 2+1+3+2=8.

Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x2·y3·x·(−2)·x5·y. Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x8·y4, его степень равна 8+4=12. Таким образом, степень исходного одночлена равна 12.

Коэффициент одночлена

Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом. Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.

Определение.

Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3.

Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1. Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a, x·z3, a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1, так как a можно рассматривать как 1·a, x·z3 – как 1·x·z3 и т.п.

Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x, −x3·y·z3 и т.п. имеют коэффициент −1, так как −x=(−1)·x, −x3·y·z3=(−1)·x3·y·z3 и т.п.

К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+