Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Определение одночлена, сопутствующие понятия, примеры.

Одним из видов выражений курса алгебры являются одночлены. В этой статье мы разберемся, какие выражения называют одночленами, скажем про их стандартный вид и приведем примеры. А после этого подробно остановимся на сопутствующих понятиях – степени и коэффициенте одночлена.

Что такое одночлен? Определение, примеры

Первое запланированное знакомство с одночленами происходит в 7 классе средней школы. Там дается следующее определение одночлена:

Озвученное определение позволяет привести примеры одночленов. Каждое из чисел 1, 7, 1 002, 0, −1, −7, 0,8, 1/4, - это одночлен. Любая переменная, к примеру, a, b, p, q, t, x, y, z – это тоже одночлены по определению. Одночленами являются и степени чисел и переменных, например, 2³, (−3,41)⁷, x² и t¹¹⁵. Но наиболее яркими представителями одночленов являются произведения чисел, переменных и их степеней: 5·x, 7·(−3)·x·y³·6, x·x·y³·x·y²·z и т.п. Из приведенных примеров видно, что в составе одночлена может быть как одно, так и несколько чисел, как одна, так и несколько переменных и их степеней, причем они могут повторяться.

До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые и рациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так , 2·π·x³ и - это тоже одночлены.

Стандартный вид одночлена

С одночленами удобно работать, когда они приведены к так называемому стандартному виду.

Для пояснения приведем примеры нескольких одночленов стандартного вида: 5 (этот одночлен не содержит переменных), 2·a, −7·x²·y³, , x·y (здесь коэффициент равен единице), −x³ (здесь коэффициент равен −1). А вот одночлены 4·a·a²·a³ и 5·x·(−1)·3·y² записаны не в стандартном виде, так как первый из них содержит одинаковые переменные, а второй – несколько числовых множителей.

Отметим, что в одночленах стандартного вида принято буквенные множители записывать в алфавитном порядке. Например, одночлен b⁴·6·a·z²·c предпочтительнее записать как 6·a·b⁴·c·z². Давайте договоримся в дальнейшем везде записывать переменные в составе одночлена в алфавитном порядке. Записывать переменные не в алфавитном порядке мы будем только тогда, когда будем преследовать какую-то определенную цель.

Любой одночлен путем тождественных преобразований может быть представлен в стандартном виде. Иными словами, можно любой одночлен привести к стандартному виду.

Степень одночлена

Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.

Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a¹. Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a²·x·y³·a² является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a, x и y равна 2+1+3+2=8.

Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x²·y³·x·(−2)·x⁵·y. Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x⁸·y⁴, его степень равна 8+4=12. Таким образом, степень исходного одночлена равна 12.

Коэффициент одночлена

Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом. Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.

Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a³ по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3.

Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1. Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a, x·z³, a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1, так как a можно рассматривать как 1·a, x·z³ – как 1·x·z³ и т.п.

Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x, −x³·y·z³ и т.п. имеют коэффициент −1, так как −x=(−1)·x, −x³·y·z³=(−1)·x³·y·z³ и т.п.

К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7.