Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) алгебраических дробей, его нахождение.


Для сложения и вычитания алгебраических дробей их предварительно нужно привести к такому виду, чтобы они имели одинаковые знаменатели. Другими словами, они приводятся к общему знаменателю. В этой статье мы сначала дадим определение общего знаменателя и наименьшего общего знаменателя (НОЗ) алгебраических дробей. А дальше подробно остановимся на нахождении наименьшего общего знаменателя: разберем соответствующий алгоритм и рассмотрим решения примеров.


Что называют общим знаменателем алгебраических дробей?

Мы уже встречали термин «общий знаменатель», когда изучали обыкновенные дроби, а точнее, действия с ними. Тогда общим знаменателем обыкновенных дробей мы назвали такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Например, число 36 является общим знаменателем дробей 1/2 и 5/9, так как 36 делится без остатка и на 2, и на 9.

Похожим образом определяется и общий знаменатель алгебраических дробей. Отличие состоит лишь в том, что вместо чисел, которые составляют обыкновенную дробь, речь уже идет о многочленах, так как именно они стоят в числителе и знаменателе алгебраической дроби.

Определение.

Общим знаменателем алгебраических дробей называется многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.

Сразу стоит отметить, что мы будем работать с общими знаменателями алгебраических дробей, представленными преимущественно в виде произведения, а не в виде многочлена стандартного вида. Это связано с особенностями нахождения общего знаменателя алгебраических дробей (о которых мы будем говорить в этой статье чуть позже).

Приведем пример. Многочлен, записанный в виде произведения 3·x2·(x+1) (ему соответствует многочлен стандартного вида 3·x3+3·x2), является общим знаменателем алгебраических дробей 2/x, и , так как он делится на x, на x2 и на x+1 (при необходимости освежите в памяти информацию о делимости многочленов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)


Несложно убедиться, что для заданных алгебраических дробей существует бесконечное множество общих знаменателей. Например, общим знаменателем алгебраических дробей и является 2·x·(x2+3), как и −2·x·(x2+3), как и x·(x2+3), как и 6,4·x·(x2+3)·(y+y4), как и −31·x5·(x2+3)3, и т.п.

На практике обычно используют общий знаменатель алгебраических дробей, который среди всего их множества имеет самый простой вид. При этом можно слышать, что говорят о наименьшем общем знаменателе.

Определение.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) алгебраических дробей – это их общий знаменатель самого простого вида.

Сразу заметим, что термин «наименьший общий знаменатель» по отношению к алгебраическим дробям не является общепризнанным, и лучше говорить просто об общем знаменателе. Этому есть объяснение.

Основная проблема состоит в том, что фраза «самого простого вида» в приведенном определении является не совсем конкретной. Основной вкладываемый в нее смысл таков: любой другой общий знаменатель данных алгебраических дробей должен без остатка делиться на общий знаменатель самого простого вида. А неконкретность заключается в том, что можно использовать различные числовые коэффициенты в произведении, являющимся общим знаменателем дробей. Поясним эти моменты на примере.

Обратимся к уже упомянутым в этом пункте алгебраическим дробям и . На практике удобнее всего работать с их общим знаменателем вида 2·x·(x2+3). Однако их общим знаменателем является и x·(x2+3), вид которого проще, так как он не содержит числового коэффициента. Так какой из них считать наименьшим общим знаменателем исходных алгебраических дробей? Вот поэтому и лучше говорить просто об общем знаменателе, и работать с тем из всего их множества, с которым удобнее. Понятно, что другие общие знаменатели этих дробей (например, x2·(x2+3)·(y+y4) или −15·x5·(x2+3)3) имеют более сложный вид в указанном в предыдущем абзаце смысле, так как делятся на общий знаменатель 2·x·(x2+3) (или x·(x2+3)).

Алгоритм отыскания общего знаменателя алгебраических дробей, примеры

Теперь поставим перед собой задачу: пусть даны несколько алгебраических дробей и требуется найти их общий знаменатель. Для ее решения будем использовать следующий алгоритм отыскания общего знаменателя алгебраических дробей:

Составленное таким способом произведение будет искомым общим знаменателем алгебраических дробей.

Несомненно, можно просто составить произведение, взяв в качестве множителей все знаменатели исходных алгебраических дробей. Но использование такого общего знаменателя в подавляющем большинстве случаев нерационально, и он часто по смыслу далек от НОЗ.

Все тонкости применения записанного алгоритма (которых, как Вы убедитесь, немало) разберем при решении примеров.

Пример.

Определите общий знаменатель дробей и .

Решение.

Знаменатели заданных алгебраических дробей не нуждаются в разложении на множители. Для определения общего знаменателя воспользуемся изученным алгоритмом.

Во-первых, берем все множители из знаменателя первой дроби, имеем x2·y.

В знаменателе второй дроби стоит x+1, такого множителя нет в уже составленном произведении x2·y, поэтому, добавляем его. На этом этапе получим произведение x2·y·(x+1).

В знаменателе третьей дроби находится x5·y. В составляемом произведении уже есть множитель x2 и множитель y, поэтому, остается добавить еще x5−2=x3.

В итоге имеем произведение x2·y·(x+1)·x3, которое можно преобразовать к виду x5·y·(x+1). Это и есть искомый общий множитель алгебраических дробей.

Ответ:

x5·y·(x+1).

Теперь перейдем к случаям, когда знаменатели алгебраических дробей имеют целые числовые множители. При нахождении их общего знаменателя следует придерживаться приведенного алгоритма, а целые числовые множители разложить на простые множители.

Пример.

Найдите общий знаменатель дробей и .

Решение.

После разложения чисел в знаменателях дробей на простые множители, они примут вид и . Теперь можно приступать к составлению общего знаменателя.

Берем произведение из знаменателя первой дроби 22·3·x и добавляем к нему множители 3, 5 и x из знаменателя второй дроби. В итоге имеем 22·3·x·3·5·x=180·x2. Так мы нашли требуемый общий знаменатель.

Ответ:

180·x2.

Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.

Вернемся к предыдущему примеру. В знаменателях обеих дробей и присутствует множитель x, причем во второй дроби он в квадрате. При составлении общего знаменателя, берем этот множитель в наибольшей степени, то есть, x2. Других множителей с переменными нет. Исходные дроби имеют целые числовые коэффициенты 12 и 90, их наименьшее общее кратное равно 180. Таким образом, искомый общий знаменатель имеет вид 180·x2.

Предыдущие рассуждения позволяют записать еще один алгоритм отыскания общего множителя алгебраических дробей:

Можно использовать как первый, так и второй алгоритм, в зависимости от того, какой кажется более удобным.

Обговорим еще пару нюансов.

Иногда общие множители в знаменателях дробей могут быть «спрятаны» за числовыми коэффициентами. Поэтому имеет смысл вынести за скобки числовые коэффициенты при старших степенях переменных в каждом из множителей, находящихся в знаменателях.

Пример.

Какой общий знаменатель имеют дроби и .

Решение.

В первой дроби вынесем за скобки минус единицу, имеем , а теперь избавимся от минуса в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на −1, получаем дробь . А в знаменателе второй дроби вынесем за скобки двойку, приходим к дроби .

После проведенных преобразований стал очевиден общий знаменатель алгебраических дробей и , им является 2·(x−5).

Ответ:

2·(x−5).

Наконец, если исходные дроби имеют дробные коэффициенты, то перед нахождением их общего знаменателя обычно избавляются от дробных коэффициентов, выполнив умножение числителя и знаменателя дробей на некоторое число. Подобное действие мы уже выполняли, когда говорили о преобразовании алгебраических дробей.

Пример.

Упростите алгебраические дроби и , после чего определите их общий знаменатель.

Решение.

Упростим исходные дроби, избавившись от дробных коэффициентов. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на 14, а второй – на 3. Получим и .

Теперь общий знаменатель очевиден – он имеет вид 2·(x2+2).

Ответ:

2·(x2+2).

В заключение этой статьи хочется лишь сказать, что часто не так сложно составить общий знаменатель алгебраических дробей, как выполнить предварительное разложение знаменателей этих дробей на множители.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+