Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) алгебраических дробей, его нахождение.

Для сложения и вычитания алгебраических дробей их предварительно нужно привести к такому виду, чтобы они имели одинаковые знаменатели. Другими словами, они приводятся к общему знаменателю. В этой статье мы сначала дадим определение общего знаменателя и наименьшего общего знаменателя (НОЗ) алгебраических дробей. А дальше подробно остановимся на нахождении наименьшего общего знаменателя: разберем соответствующий алгоритм и рассмотрим решения примеров.

Что называют общим знаменателем алгебраических дробей?

Мы уже встречали термин «общий знаменатель», когда изучали обыкновенные дроби, а точнее, действия с ними. Тогда общим знаменателем обыкновенных дробей мы назвали такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Например, число 36 является общим знаменателем дробей 1/2 и 5/9, так как 36 делится без остатка и на 2, и на 9.

Похожим образом определяется и общий знаменатель алгебраических дробей. Отличие состоит лишь в том, что вместо чисел, которые составляют обыкновенную дробь, речь уже идет о многочленах, так как именно они стоят в числителе и знаменателе алгебраической дроби.

Сразу стоит отметить, что мы будем работать с общими знаменателями алгебраических дробей, представленными преимущественно в виде произведения, а не в виде многочлена стандартного вида. Это связано с особенностями нахождения общего знаменателя алгебраических дробей (о которых мы будем говорить в этой статье чуть позже).

Приведем пример. Многочлен, записанный в виде произведения 3·x²·(x+1) (ему соответствует многочлен стандартного вида 3·x³+3·x²), является общим знаменателем алгебраических дробей 2/x, и , так как он делится на x, на x² и на x+1 (при необходимости освежите в памяти информацию о делимости многочленов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Несложно убедиться, что для заданных алгебраических дробей существует бесконечное множество общих знаменателей. Например, общим знаменателем алгебраических дробей и является 2·x·(x²+3), как и −2·x·(x²+3), как и x·(x²+3), как и 6,4·x·(x²+3)·(y+y⁴), как и −31·x⁵·(x²+3)³, и т.п.

На практике обычно используют общий знаменатель алгебраических дробей, который среди всего их множества имеет самый простой вид. При этом можно слышать, что говорят о наименьшем общем знаменателе.

Сразу заметим, что термин «наименьший общий знаменатель» по отношению к алгебраическим дробям не является общепризнанным, и лучше говорить просто об общем знаменателе. Этому есть объяснение.

Основная проблема состоит в том, что фраза «самого простого вида» в приведенном определении является не совсем конкретной. Основной вкладываемый в нее смысл таков: любой другой общий знаменатель данных алгебраических дробей должен без остатка делиться на общий знаменатель самого простого вида. А неконкретность заключается в том, что можно использовать различные числовые коэффициенты в произведении, являющимся общим знаменателем дробей. Поясним эти моменты на примере.

Обратимся к уже упомянутым в этом пункте алгебраическим дробям и . На практике удобнее всего работать с их общим знаменателем вида 2·x·(x²+3). Однако их общим знаменателем является и x·(x²+3), вид которого проще, так как он не содержит числового коэффициента. Так какой из них считать наименьшим общим знаменателем исходных алгебраических дробей? Вот поэтому и лучше говорить просто об общем знаменателе, и работать с тем из всего их множества, с которым удобнее. Понятно, что другие общие знаменатели этих дробей (например, x²·(x²+3)·(y+y⁴) или −15·x⁵·(x²+3)³) имеют более сложный вид в указанном в предыдущем абзаце смысле, так как делятся на общий знаменатель 2·x·(x²+3) (или x·(x²+3)).

Алгоритм отыскания общего знаменателя алгебраических дробей, примеры

Теперь поставим перед собой задачу: пусть даны несколько алгебраических дробей и требуется найти их общий знаменатель. Для ее решения будем использовать следующий алгоритм отыскания общего знаменателя алгебраических дробей:

• знаменатели исходных дробей раскладываем на множители;
• составляем произведение: включаем в него все множители из знаменателя первой дроби (не забывая про их степени), затем добавляем все множители, присутствующие в знаменателе второй дроби, но которых нет в записанном произведении или их степень недостаточна, затем аналогичным образом добавляем к нему все недостающие множители из знаменателя третьей дроби, и так далее.

Составленное таким способом произведение будет искомым общим знаменателем алгебраических дробей.

Несомненно, можно просто составить произведение, взяв в качестве множителей все знаменатели исходных алгебраических дробей. Но использование такого общего знаменателя в подавляющем большинстве случаев нерационально, и он часто по смыслу далек от НОЗ.

Все тонкости применения записанного алгоритма (которых, как Вы убедитесь, немало) разберем при решении примеров.

Теперь перейдем к случаям, когда знаменатели алгебраических дробей имеют целые числовые множители. При нахождении их общего знаменателя следует придерживаться приведенного алгоритма, а целые числовые множители разложить на простые множители.

Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.

Вернемся к предыдущему примеру. В знаменателях обеих дробей и присутствует множитель x, причем во второй дроби он в квадрате. При составлении общего знаменателя, берем этот множитель в наибольшей степени, то есть, x². Других множителей с переменными нет. Исходные дроби имеют целые числовые коэффициенты 12 и 90, их наименьшее общее кратное равно 180. Таким образом, искомый общий знаменатель имеет вид 180·x².

Предыдущие рассуждения позволяют записать еще один алгоритм отыскания общего множителя алгебраических дробей:

• знаменатели всех дробей раскладываются на множители;
• составляется произведение всех буквенных множителей, причем, если какие-нибудь множители присутствуют в нескольких разложениях, то они берутся с наибольшим показателем степени;
• к этому произведению добавляется НОК числовых коэффициентов разложений.

Можно использовать как первый, так и второй алгоритм, в зависимости от того, какой кажется более удобным.

Обговорим еще пару нюансов.

Иногда общие множители в знаменателях дробей могут быть «спрятаны» за числовыми коэффициентами. Поэтому имеет смысл вынести за скобки числовые коэффициенты при старших степенях переменных в каждом из множителей, находящихся в знаменателях.

Наконец, если исходные дроби имеют дробные коэффициенты, то перед нахождением их общего знаменателя обычно избавляются от дробных коэффициентов, выполнив умножение числителя и знаменателя дробей на некоторое число. Подобное действие мы уже выполняли, когда говорили о преобразовании алгебраических дробей.

В заключение этой статьи хочется лишь сказать, что часто не так сложно составить общий знаменатель алгебраических дробей, как выполнить предварительное разложение знаменателей этих дробей на множители.