Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Группировка слагаемых и множителей, правило, примеры.


К суммам трех и большего количества слагаемых относится тождественное преобразование, имеющее название группировка слагаемых. Аналогичный вид преобразований существует и для произведений трех, четырех и т.д. множителей, называемый группировкой множителей. В этой статье мы разберем правила группировки слагаемых и множителей, и рассмотрим применение этих правил на примерах.


Группировка слагаемых, примеры

В числовых и буквенных выражениях, содержащих суммы трех и большего количества слагаемых, можно выполнять группировку слагаемых. Что же понимают под этим термином?

Под группировкой слагаемых подразумевается совместное рассмотрение нескольких слагаемых в сумме. Иными словами, группировка слагаемых – это объединение слагаемых в группу.

Существует правило группировки слагаемых: сначала в исходной сумме выполняется перестановка слагаемых так, чтобы группируемые слагаемые оказались рядом, после чего они заключаются в скобки.

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, поясним, на чем основано приведенное правило группировки слагаемых. Оно базируется на переместительном и сочетательном свойстве сложения.

Переходим к примерам. Рассмотрим сумму трех слагаемых вида 1+2+3. Пусть мы хотим выполнить группировку первого и второго слагаемых. В этом случае нам не нужно выполнять перестановку слагаемых, так как слагаемые, которые мы собираемся сгруппировать, итак находятся рядом. Нам нужно лишь заключить их в скобки, имеем (1+2)+3. На этом группировка слагаемых завершена.

Разберем еще один пример. Возьмем числовое выражение 1+8+2+9, представляющее собой сумму четырех слагаемых, и сгруппируем первое слагаемое с последним, а второе – с третьим. Для этого сначала переставляем слагаемые так, чтобы те слагаемые, которые мы собираемся сгруппировать, оказались рядом: 1+9+8+2. Осталось заключить группируемые слагаемые в скобки (1+9)+(8+2).

По озвученному правилу выполняется и группировка слагаемых в выражениях с переменными. Например, в сумме вида x+y3+3·y2+2·x2+y+1 можно сгруппировать все слагаемые с переменной x и все слагаемые с переменной y, после этого преобразования мы получим выражение (x+2·x2)+(y3+3·y2+y)+1.

Следует заметить, что часто основные трудности с группировкой слагаемых заключаются не в самой группировке, а в том, чтобы разглядеть в исходном выражении сумму и составляющие ее слагаемые. Особенно это касается громоздких выражений. Когда слагаемые найдены, их группировка не вызывает проблем. Например, выражение представляет собой сумму трех слагаемых и . После того, как мы определили эти слагаемые, мы можем сгруппировать, например, первое слагаемое с третьим, при этом получим выражение . Кстати, в дроби под знаком корня находится сумма трех слагаемых, в которой тоже можно провести группировку.

Группировка слагаемых широко применяется для рационального вычисления значений выражений, при упрощении выражений и при решении многих других математических задач. К примеру, при вычислении значения выражения 1/3+2/7+2/3+3/7 удобно сгруппировать дроби с одинаковым знаменателем, что упрощает и ускоряет вычисления: . К слову, на группировке слагаемых базируется один из методов разложения многочлена на множители.

Группировка множителей, примеры


Группировка множителей по своему смыслу аналогична группировке слагаемых, только она проводится не в суммах, а в произведениях. Так под группировкой множителей в произведении понимают объединение нескольких множителей в группу.

Группировка множителей проводится по правилу, которое также аналогично правилу группировки слагаемых: группируемые множители переставляются в произведении так, чтобы они оказались рядом одно за другим, после чего они заключаются в скобки. Теоретической базой этого правила являются переместительное и сочетательное свойство умножения.

Для примера сгруппируем отдельно числовые и отдельно буквенные множители в произведении 3·a·7·b. Для этого сначала выполняем перестановку множителей, чтобы группируемые множители оказались рядом, имеем 3·7·a·b, после чего записываем скобки. В результате группировки множителей приходим к выражению вида (3·7)·(a·b).

Список литературы.

  • Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+