Переход от корней к степеням и обратно, примеры, решения
Преобразование выражений с корнями и степенями часто требует выполнения переходов от корней к степеням и обратно. В этой статье мы разберем, как такие переходы осуществляются, что лежит в их основе, и в каких моментах чаще всего возникают ошибки. Все это снабдим характерными примерами с детальным разбором решений.
Переход от степеней с дробными показателями к корням
Возможность перехода от степени с дробным показателем к корню диктуется самим определением степени. Напомним, как определяется степень числа с дробным показателем: степенью положительного числа a с дробным показателем m/n, где m – целое, а n – натуральное число, называют корень n-ой степени из am, то есть, , где a>0, m∈Z, n∈N. Аналогично определяется и дробная степень нуля , с той лишь разницей, что в этом случае m уже считается не целым, а натуральным, чтобы не возникало деления на нуль.
Таким образом, степень всегда можно заменить на корень . Например, от можно перейти к , а степень можно заменить корнем . А вот переходить от выражения к корню не следует, так как степень изначально не имеет смысла (степень отрицательных чисел не определена), несмотря на то, что корень имеет смысл.
Как видите, в переходе от степеней чисел к корням нет абсолютно ничего мудреного. Аналогично осуществляется переход к корням от степеней с дробными показателями, в основании которых находятся произвольные выражения. Заметим, что указанный переход осуществляется на ОДЗ переменных для исходного выражения. К примеру, выражение на всей ОДЗ переменной x для этого выражения можно заменить корнем . А от степени перейти к корню , такая замена имеет место для любого набора переменных x, y и z из ОДЗ для исходного выражения.
Замена корней степенями
Возможна и обратная замена, то есть, замена корней на степени с дробными показателями . В ее основе также лежит равенство , которое в данном случае используется справа налево, то есть, в виде .
Для положительных a указанный переход очевиден. Например, можно заменить степенью , а от корня перейти к степени с дробным показателем вида .
А при отрицательных a равенство не имеет смысла, но корень при этом может иметь смысл. Например, корни и имеют смысл, но заменить их степенями и нельзя. Так можно ли их вообще преобразовать в выражения со степенями? Можно, если провести предварительные преобразования, заключающиеся в переходе к корням с неотрицательными числами под ними, которые потом и заменить степенями с дробными показателями. Покажем, в чем заключаются эти предварительные преобразования и как их провести.
В случае с корнем свойства степеней позволяют выполнить такие преобразования: . А так как 4 – положительное число, то последний корень можно заменить степенью . А во втором случае определение корня нечетной степени из отрицательного числа −a (при этом a – положительное), выражающееся равенством , позволяет корень заменить выражением , в котором кубический корень из двух уже можно заменить степенью, и оно примет вид .
Осталось разобрать, как заменяются корни, под которыми находятся выражения, на степени, содержащие эти выражения в основании. Здесь не стоит спешить с заменой на , буквой A мы обозначили некоторое выражение. Приведем пример, поясняющий, что под этим имеется в виду. Корень так и хочется заменить степенью , основываясь на равенстве . Но такая замена уместна лишь при условии x−3≥0, а для остальных значений переменной x из ОДЗ (удовлетворяющих условию x−3<0) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a. Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Из-за такого неаккуратного применения формулы нередко возникают ошибки при переходе от корней к степеням. Например, в учебнике [1, с. 221] дано задание, представить выражение в виде степени с рациональным показателем, и приведен ответ , который вызывает вопросы, так как в условии не задано ограничение b>0. А в учебнике [2, с. 76] присутствует переход от выражения , скорее всего через следующие преобразования иррационального выражения
к выражению . Последний переход также вызывает вопросы, так как сужает ОДЗ.
Возникает закономерный вопрос: «Как же правильно перейти от корня к степени для всех значений переменных из ОДЗ»? Такая замена проводится на базе следующих утверждений:
- Если m – целое и нечетное, а n – натуральное и четное число, то на всей ОДЗ переменных для выражения его можно заменить на .
- Если m – целое и нечетное, n – натуральное и нечетное, то выражение можно заменить
- на для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значения выражения A неотрицательны,
- и на для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значения выражения A отрицательны.
- Если m – целое и четное, а n – любое натуральное число, то на ОДЗ переменных для выражения можно заменить на .
Прежде чем обосновать записанные результаты, приведем несколько примеров их использования для перехода от корней к степеням. Для начала вернемся к выражению . Его надо было заменять не на , а на (в данном случае m=2 – целое четное, n=3 – натуральное). Другой пример: .
Теперь обещанное обоснование результатов.
Когда m – целое нечетное, а n – натуральное четное, то для любого набора переменных из ОДЗ для выражения значение выражения A положительно (если m<0) или неотрицательно (если m>0). Поэтому, .
Переходим ко второму результату. Пусть m – целое положительное нечетное, а n – натуральное нечетное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A неотрицательно, , а для которых отрицательно,
Аналогично доказывается следующий результат для целых отрицательных и нечетных m и натуральных нечетных n. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно, , а для которых отрицательно,
Наконец, последний результат. Пусть m – целое четное, n – любое натуральное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно (если m<0) или неотрицательно (если m>0), . А для которых отрицательно, . Таким образом, если m – целое четное, n – любое натуральное, то для любого набора значений переменных из ОДЗ для выражения его можно заменить на .
Список литературы.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2009.- 336 с.: ил.- ISBN 979-5-09-016551-8.