Нахождение значения выражения, примеры, решения.
После того, как мы узнали что такое значение выражения, логичным будет разобраться с вопросом как найти значение выражения. Сейчас мы рассмотрим правила нахождения значений выражений. Начнем с числовых выражений, и будем продвигаться от самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа и соединяющие их знаки арифметических действий, и закончим общим случаем, когда в выражении, значение которого нужно найти, содержатся скобки, дроби, корни, степени и другие функции. В конце покажем, как находить значения буквенных выражений и выражений с переменными при выбранных значениях переменных. Всю теорию снабдим примерами с подробным описанием решений.
Как найти значение числового выражения?
Перевод условий задач на математический язык часто дает числовые выражения, то есть, выражения, составленные из чисел и знаков действий. Они могут быть как очень простыми, состоящими из чисел и знаков арифметических действий, так и достаточно сложными и громоздкими, содержащими скобки, степени, дроби, корни и т.п. Но составленное выражение зачастую является лишь промежуточным этапом решения задачи, а ответ заключается в значении составленного выражения. Так мы приходим к задаче - найти значение выражения.
Разберемся с правилами, по которым вычисляются значения выражений.
Простейшие случаи
Знакомство с правилами нахождения значений выражений начнем со случаев, когда числовое выражение не содержит в своей записи ничего другого, кроме чисел и знаков арифметических действий. Эти случаи мы и назвали простейшими.
Чтобы успешно находить значения таких выражений, нужно уметь выполнять действия с различными числами, а также иметь представление о порядке выполнения действий в выражениях без скобок.
Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и :, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.
Приведем решение примеров для пояснения.
Пример.
Вычислите значение выражения 14−2·15:6−3.
Решение.
Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить все указанные в нем действия в соответствии с принятым порядком выполнения этих действий. Вначале по порядку слева направо выполняем умножение и деление, получаем 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Теперь также по порядку слева направо выполняем оставшиеся действия: 14−5−3=9−3=6. Так мы нашли значение исходного выражения, оно равно 6.
Ответ:
14−2·15:6−3=6.
Пример.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
В данном примере нам сначала нужно выполнить умножение 2·(−7) и деление с умножением в выражении 
. Вспомнив, как выполняется умножение чисел с разными знаками, находим 2·(−7)=−14. А для выполнения действий в выражении сначала заменяем смешанное число обыкновенной дробью 
, после чего переходим от деления на дробь к умножению на обратное число 
, и выполняем умножение обыкновенных дробей: 
.
Подставляем полученные значения в исходное выражение: 
.
Осталось записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби 
, вспомнить правило вычитания отрицательных чисел 
, сгруппировать и сложить обыкновенные дроби 
, и сложить обыкновенную дробь с натуральным числом 
.
Так мы нашли искомое значение выражения.
Ответ:
.
Со скобками
Теперь разберемся, как найти значение выражения, содержащего в своей записи скобки, указывающие порядок выполнения действий. При этом сначала следует находить значение выражений в скобках, придерживаясь принятого порядка выполнения действий, а затем выполнять остальные действия, что приведет к искомому значению исходного выражения. Это правило перекликается с порядке выполнения действий в выражениях без скобокпорядком выполнения действий в выражениях со скобками.
Покажем решение примера.
Пример.
Вычислите значение выражения 0,5·(0,75−0,05).
Решение.
В данном примере для нахождения значения выражения нам нужно будет выполнять действия с десятичными дробями. Так как исходное выражение содержит скобки, то сначала нужно найти значение выражения в них, имеем 0,5·(0,75−0,05)=0,5·0,7. Остается выполнить умножение: 0,5·0,7=0,35.
Ответ:
0,5·(0,75−0,05)=0,35.
Аналогично находятся значения выражений, содержащих скобки в скобках. Удобно нахождение значения начинать со внутренних скобок и продвигаться к внешним.
Пример.
Найдите значение выражения 1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4))).
Решение.
Во внутренних скобках находится выражение 1−1/4, его значение равно 3/4. Подставив его в исходное выражение, оно примет вид 1+2·(1+2·(1+2·3/4)). Опять вычисляем значение выражения во внутренних скобках, не забывая, что умножение выполняется перед сложением, 1+2·3/4=1+3/2=5/2, и подставляем это значение в последнее выражение: 1+2·(1+2·5/2). Остается найти значение выражения в скобках, после чего можно будет закончить вычисления: 1+2·(1+2·5/2)=1+2·6=13.
Запишем краткое решение:
1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4)))=
Ответ:
1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4)))=13.
Итак, в нахождении значений выражений со скобками нет ничего сложного, главное – соблюдать последовательность выполнения действий, и не допускать вычислительных ошибок.
С корнями
Числовые выражения, значения которых требуется найти, могут в своей записи содержать различные знаки, в частности, корни. Как найти значение корня, под которым стоит число, объясняет материал статьи извлечение корней.
А как быть, когда под знаком корня находится числовое выражение? Чтобы получить значение такого корня, нужно сначала найти значение подкоренного выражения, придерживаясь принятого порядка выполнений действий. Например, 
.
В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.
Пример.
Найдите значение выражения с корнями 
.
Решение.
Сначала найдем значение корня 
. Для этого, во-первых, вычислим значение подкоренного выражения, имеем −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. А во-вторых, находим значение корня 
.
Теперь вычислим значение второго корня из исходного выражения: 
.
Наконец, мы можем найти значение исходного выражения, заменив корни их значениями: 
.
Ответ:
.
Достаточно часто, чтобы стало возможно найти значение выражения с корнями, предварительно приходится проводить его преобразование. Покажем решение примера.
Пример.
Каково значение выражения 
.
Решение.
Мы не имеем возможности заменить корень из трех его точным значением, что не позволяет нам вычислить значение этого выражения описанным выше способом. Однако мы можем вычислить значение этого выражение, выполнив несложные преобразования. Применим формулу разности квадратов: 
. Учитывая свойства корней, получаем 
. Таким образом, значение исходного выражения равно 1.
Ответ:
.
Со степенями
Когда в выражении, значение которого мы находим, присутствуют степени, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий. Вычислению значений степеней чисел посвящена статья возведение в степень.
Если основание и показатель степени являются числами, то их значение вычисляется по определению степени, например, 32=3·3=9 или 8−1=1/8. Встречаются также записи, когда основание и/или показатель степени являются некоторыми выражениями. В этих случаях нужно найти значение выражения в основании, значение выражения в показателе, после чего вычислить значение самой степени.
Пример.
Найдите значение выражения со степенями вида 23·4−10+16·(1−1/2)3,5−2·1/4.
Решение.
В исходном выражении две степени 23·4−10 и (1−1/2)3,5−2·1/4. Их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий.
Начнем со степени 23·4−10. В ее показателе находится числовое выражение, вычислим его значение: 3·4−10=12−10=2. Теперь можно найти значение самой степени: 23·4−10=22=4.
В основании и показателе степени (1−1/2)3,5−2·1/4 находятся выражения, вычисляем их значения, чтобы потом найти значение степени. Имеем (1−1/2)3,5−2·1/4=(1/2)3=1/8.
Теперь возвращаемся к исходному выражению, заменяем в нем степени их значениями, и находим нужное нам значение выражения: 23·4−10+16·(1−1/2)3,5−2·1/4=
Ответ:
23·4−10+16·(1−1/2)3,5−2·1/4=6.
Стоит заметить, что более распространены случаи, когда целесообразно провести предварительное упрощение выражения со степенями на базе свойств степени.
Пример.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Судя по показателям степеней, находящихся в данном выражении, точные значения степеней получить не удастся. Попробуем упростить исходное выражение, может быть это поможет найти его значение. Имеем
Ответ:
.
Степени в выражениях зачастую идут рука об руку с логарифмами, но о нахождении значений выражений с логарифмами мы поговорим в одном из следующих пунктов.
Находим значение выражения с дробями
Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби. Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.
В числителе и знаменателе дробей (которые отличны от обыкновенных дробей) могут находиться как некоторые числа, так и выражения. Чтобы вычислить значение такой дроби нужно вычислить значение выражения в числителе, вычислить значение выражения в знаменателе, после чего вычислить значение самой дроби. Такой порядок объясняется тем, что дробь a/b, где a и b – некоторые выражения, по сути представляет собой частное вида (a):(b), так как черта дроби означает знак деления.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите значение выражения с дробями 
.
Решение.
В исходном числовом выражении три дроби 
и 
. Чтобы найти значение исходного выражения, нам сначала нужно эти дроби, заменить их значениями. Сделаем это.
В числителе и знаменателе дроби 
находятся числа. Чтобы найти значение такой дроби, заменяем дробную черту знаком деления, и выполняем это действие: 
.
В числителе дроби 
находится выражение 7−2·3, его значение найти легко: 7−2·3=7−6=1. Таким образом, 
. Можно переходить к нахождению значения третьей дроби.
Третья дробь в числителе и знаменателе содержит числовые выражения, поэтому, сначала нужно вычислить их значения, а это позволит найти значение самой дроби. Имеем 
.
Осталось подставить найденные значения в исходное выражение, и выполнить оставшиеся действия: 
.
Ответ:
.
Часто при нахождении значений выражений с дробями приходится выполнять упрощение дробных выражений, базирующееся на выполнении действий с дробями и на сокращении дробей.
Пример.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Корень из пяти нацело не извлекается, поэтому для нахождения значения исходного выражения для начала упростим его. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби: 
. После этого исходное выражение примет вид 
. После вычитания дробей пропадут корни, что нам позволит найти значение изначально заданного выражения: 
.
Ответ:
.
С логарифмами
Если числовое выражение содержит логарифмы, и если есть возможность избавиться от них, вычислив значение логарифмов, то это делается перед выполнением остальных действий. Например, при нахождении значения выражения log24+2·3, логарифм log24 заменяется его значением 2, после чего выполняются остальные действия в обычном порядке, то есть, log24+2·3=2+2·3=2+6=8.
Когда под знаком логарифма и/или в его основании находятся числовые выражения, то сначала находятся их значения, после чего вычисляется значение логарифма. Для примера рассмотрим выражение с логарифмом вида 
. В основании логарифма и под его знаком находятся числовые выражения, находим их значения: 
. Теперь находим логарифм, после чего завершаем вычисления: 
.
Если же логарифмы не вычисляются точно, то найти значение исходного выражения может помочь предварительное его упрощение с использованием свойств логарифмов. При этом нужно хорошо владеть материалом статьи преобразование логарифмических выражений.
Пример.
Найдите значение выражения с логарифмами 
.
Решение.
Начнем с вычисления log2(log2256). Так как 256=28, то log2256=8, следовательно, log2(log2256)=log28=log223=3.
Логарифмы log62 и log63 можно сгруппировать. Сумма логарифмов log62+log63 равна логарифму произведения log6(2·3), таким образом, log62+log63=log6(2·3)=log66=1.
Теперь разберемся с дробью 
. Для начала основание логарифма в знаменателе перепишем в виде обыкновенной дроби как 1/5, после чего воспользуемся свойствами логарифмов, что позволит нам получить значение дроби: 
.
Осталось лишь подставить полученные результаты в исходное выражение и закончить нахождение его значения:
Ответ:
.
Как найти значение тригонометрического выражения?
Когда числовое выражение содержит синус, косинус, тангенс, котангенс или арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и т.п., то их значения вычисляются перед выполнением остальных действий. Если под знаком тригонометрических функций стоят числовые выражения, то сначала вычисляются их значения, после чего находятся значения тригонометрических функций.
Пример.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Обратившись к статье нахождение значений тригонометрических функций, получаем 
и cosπ=−1. Подставляем эти значения в исходное выражение, оно принимает вид 
. Чтобы найти его значение, сначала нужно выполнить возведение в степень, после чего закончить вычисления: 
.
Ответ:
.
Стоит отметить, что вычисление значений выражений с синусами, косинусами и т.п. зачастую требует предварительного преобразования тригонометрического выражения.
Пример.
Чему равно значение тригонометрического выражения 
.
Решение.
Преобразуем исходное выражение, используя тригонометрические формулы, в данном случае нам потребуются формула косинуса двойного угла и формула косинуса суммы:
Проделанные преобразования помогли нам найти значение выражения.
Ответ:
.
Общий случай
В общем случае числовое выражение может содержать и корни, и степени, и дроби, и какие-либо функции, и скобки. Нахождение значений таких выражений состоит в выполнении следующих действий:
- сначала корни, степени, дроби и т.п. заменяются их значениями,
- дальше действия в скобках,
- и по порядку слева направо выполняется оставшиеся действия - умножение и деление, а за ними – сложение и вычитание.
Перечисленные действия выполняются до получения конечного результата.
Пример.
Найдите значение выражения 
.
Решение.
Вид данного выражения довольно сложен. В этом выражении мы видим дробь, корни, степени, синус и логарифм. Как же найти его значение?
Продвигаясь по записи слева на право, мы натыкаемся на дробь вида 
. Мы знаем, что при работе с дробями сложного вида, нам нужно отдельно вычислить значение числителя, отдельно – знаменателя, и, наконец, найти значение дроби.
В числителе мы имеем корень вида 
. Чтобы определить его значение, сначала надо вычислить значение подкоренного выражения 
. Здесь есть синус. Найти его значение мы сможем лишь после вычисления значения выражения 
. Это мы можем сделать: 
. Тогда 
, откуда 
и 
.
Со знаменателем все просто: 
.
Таким образом, 
.
После подстановки этого результата в исходное выражение, оно примет вид 
. В полученном выражении содержится степень 
. Чтобы найти ее значение, сначала придется найти значение показателя, имеем 
.
Итак, 
.
Ответ:
.
Если же нет возможности вычислить точные значения корней, степеней и т.п., то можно попробовать избавиться от них с помощью каких-либо преобразований, после чего вернуться к вычислению значения по указанной схеме.
Рациональные способы вычисления значений выражений
Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в предыдущих пунктах, но не нужно это делать слепо и механически. Этим мы хотим сказать, что часто можно рационализировать процесс нахождения значения выражения. Например, значительно ускорить и упростить нахождение значения выражения позволяют некоторые свойства действий с числами.
К примеру, мы знаем такое свойство умножения: если один из множителей в произведении равен нулю, то и значение произведения равно нулю. Используя это свойство, мы можем сразу сказать, что значение выражения 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·
Также удобно пользоваться свойством вычитания равных чисел: если от числа отнять равное ему число, то в результате получится нуль. Это свойство можно рассматривать шире: разность двух одинаковых числовых выражений равна нулю. Например, не вычисляя значения выражений в скобках можно найти значение выражения (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3), оно равно нулю, так как исходное выражение представляет собой разность одинаковых выражений.
Рациональному вычислению значений выражений могут способствовать тождественные преобразования. Например, бывает полезна группировка слагаемых и множителей, не менее часто используется вынесение общего множителя за скобки. Так значение выражения 53·5+53·7−53·11+5 очень легко находится после вынесения множителя 53 за скобки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Непосредственное вычисление заняло бы намного больше времени.
В заключение этого пункта обратим внимание на рациональный подход к вычислению значений выражений с дробями – одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Например, сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе дроби 
позволяет сразу найти ее значение, которое равно 1/2.
Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. То есть, речь идет о нахождении значения буквенного выражения для данных значений букв или о нахождении значения выражения с переменными для выбранных значений переменных.
Правило нахождения значения буквенного выражения или выражения с переменными для данных значений букв или выбранных значений переменных таково: в исходное выражение нужно подставить данные значения букв или переменных, и вычислить значение полученного числового выражения, оно и является искомым значением.
Пример.
Вычислите значение выражения 0,5·x−y при x=2,4 и y=5.
Решение.
Чтобы найти требуемое значение выражения, сначала нужно подставить в исходное выражение данные значения переменных, после чего выполнить действия: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
Ответ:
−3,8.
В заключение отметим, что иногда выполнение преобразований буквенных выражений и выражений с переменными позволяет получить их значения, независимо от значений букв и переменных. Например, выражение x+3−x можно упростить, после чего оно примет вид 3. Отсюда можно сделать вывод, что значение выражения x+3−x равно 3 для любых значений переменной x из ее области допустимых значений (ОДЗ). Еще пример: значение выражения 
равно 1 для всех положительных значений x, так областью допустимых значений переменной x в исходном выражении является множество положительных чисел, и на этой области имеет место равенство 
.
Список литературы.
- Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.