Пример

Оцените значения выражения .

Решение

Одна из оценок очевидна: . Действительно, так как (см. оценки значений основных элементарных функций), то и (при необходимости смотрите оценка значений функции y=f(g(x)) через область значений функции y=f(x)), а метод получения оценок с использованием свойств числовых неравенств позволяет сложить две последних оценки, что дает оценку и дальше .

Но давайте попробуем получить более точную оценку. Для этого нам придется провести исследование функции .

Сначала находим область определения функции:

Так как область определения функции есть числовой отрезок, то наша задача, заключающаяся в получении оценки значений выражения , сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [−7, 11].

Находим производную:

Производная равна нулю, когда . Это иррациональное уравнение имеет единственное решение x=2 (при необходимости смотрите решение иррациональных уравнений). Так как x=2 принадлежит отрезку [−7, 11], то это точка экстремума функции.

Теперь мы можем найти наибольшее и наименьшее значения функции . Для этого нужно вычислить ее значения на концах отрезка [−7, 11], то есть, в точках x=−7 и x=11, а также в точке экстремума x=2. Имеем

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [−7, 11] есть число , а наибольшее - число 6.

Полученные результаты позволяют записать нужную нам оценку: .

Ответ:

К началу страницы