Оцените значения квадратных трехчленов: а) x²+6·x+1, б) –x²+4·x.

а) Рассмотрим квадратичную функцию y=x²+6·x+1. Мы знаем, что ее графиком является парабола. Найдем координаты вершины параболы: , . Так как коэффициент при x² положительный, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, область значений квадратичной функции y=x²+6·x+1 есть множество [−8, +∞). Ее и укажем в качестве оценки значений квадратного трехчлена x²+6·x+1. Таким образом, x²+6·x+1≥−8.

Покажем другой способ решения, заключающийся в проведении преобразований для получения оценки.

Здесь нам поможет выделение квадрата двучлена:
x²+6·x+1=
=x²+2·3·x+3²−3²+1=(x+3)²−8.

В результате проведенного преобразования мы пришли к выражению, значения которого мы можем оценить привычными методами. Так метод оценивания значений функции y=f(g(x)) через область значений функции y=f(x) вместе с известной областью значений квадратичной функции y=x² (при необходимости смотрите основные элементарные функции, их свойства и графики) позволяют утверждать, что (x+3)²≥0. А метод получения оценок с использованием свойств числовых неравенств позволяет вычесть из обеих частей последнего неравенства число 8. Это дает оценку (x+3)²−8≥0−8 и дальше (x+3)²−8≥−8.

А так как выражение (x+3)²−8 равносильно квадратному трехчлену x²+6·x+1 и, очевидно, имеет такую же область допустимых значений, то из полученной оценки (x+3)²−8≥−8 следует нужная нам оценка квадратного трехчлена: x²+6·x+1≥−8.

б) Графиком квадратичной функции y=–x²+4·x является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный, а вершина имеет координаты , . Значит, областью значений функции y=–x²+4·x является множество (−∞, 4]. Это множество мы и укажем как интересующую нас оценку. В привычной записи в виде неравенства наша оценка такова:
–x²+4·x≤4.

Также приведем краткое решение другим способом:

а) x²+6·x+1≥−8

б) –x²+4·x≤4