Оцените значения выражений: а) , б) .

а) Мы знаем, что можно оценить значение функции y=f(g(x)) через оценку значений функции y=f(x). Нам известна область значений степенной функции , ею является множество (0, +∞) (при необходимости повторите основные элементарные функции, их свойства и графики). Значит, (см. оценки значений основных элементарных функций). Следовательно, . Но давайте посмотрим, нет ли возможности получить более точную оценку.

Известная оценка значений функции y=|x| и известные оценки значений основных элементарных функций дают нам результаты |x|≥0 и . Основываясь на материале раздела теории «получение оценок на базе свойств числовых неравенств», сложим оценки |x|≥0 и . Имеем . Очевидно, множество (0, +∞), отвечающее полученной оценке, совпадает с областью определения функции . Это позволяет в качестве оценки значений выражения указать область значений функции или любое другое более широкое множество, о чем мы сказали в пункте «учет ОДЗ при получении оценок». Областью значений функции , как мы уже сказали выше, является множество (0, +∞). Таким образом, - это самая точная оценка, которую мы можем указать.

б) Для получения оценки значений выражения будем отталкиваться от результатов x⁶≥0 и |x|≥0. С опорой на свойства верных числовых неравенств мы можем получить оценку значений выражения x⁶+3·|x|−2. Имеем

Очевидно, множество [−2, +∞), отвечающее полученной оценке, полностью содержит область определения логарифмической функции (ею является множество (0, +∞)). Это обязывает нас в качестве оценки значений выражения взять область значений функции (ею является множество (−∞, +∞)). Таким образом, значения выражения мы можем оценить лишь так: .

а)

б)