Пример
Оцените значения выражения: а) (2x+3)4, б) arcsin3x, в) .
Решение
а) Известные оценки значений основных элементарных функций позволяют нам начать с результата 2x>0. Дальше прибегаем к методу получения оценок с использованием свойств числовых неравенств. Прибавим к обеим частям неравенства 2x>0 число 3, имеем 2x+3>3. В полученной оценке справа находится положительное число 3, также из этой оценки видно, что выражение 2x+3 принимает только положительные значения. Все это позволяет возвести обе части неравенства 2x+3>3 в четвертую степень. Это действие дает интересующую нас оценку:
(2x+3)4>34
(2x+3)4>81.
б) Нам известна оценка значений арксинуса: . Очевидно, арксинус принимает как положительные, так и отрицательные значения. Но это не мешает проводить возведение в нечетную степень всех частей неравенства (это возведение в четную степень требует, чтобы выражение принимало только положительные значения, и было оценено через положительные числа). Итак, возводим все части двойного неравенства в куб:
в) На базе известной оценки синуса −1≤sinx≤1, получим оценку значений выражения :
Но нас интересует оценка значений выражения . То есть, полученную оценку нам как бы надо возвести в квадрат. Однако, возведение оценки в четную степень требует выполнения определенных условий, в частности, выражение должно для этого принимать только положительные значения. А нам оценка показывает, что выражение принимает как положительные, так и отрицательные значения. Как же быть? Рассмотреть оценку как объединение трех ситуаций: , и .
В первой ситуации оценка позволяет получить интересующую нас оценку значений выражения следующим образом:
Теперь можно возвести в квадрат все части неравенства, так как все условия для этого выполняются:
Во второй ситуации, очевидно,
Наконец, в третьей ситуации имеем
Объединяя результаты , и , получаем интересующую нас оценку: .
Ответ:
а) (2x+3)4>81
б)
в)