Оцените значения произведений: а) , б) , в) .

а) Нам известны оценки значений основных элементарных функций. В частности, для получения оценки значений выражения нам понадобятся два результата: и . Дальнейшие действия будем проводить по методу получения оценок с использованием свойств числовых неравенств. Прибавив число 2 к обеим частям неравенства и число 5 к обеим частям неравенства , придем к оценкам и . Из этих оценок понятно, что выражения и принимают только положительные значения, поэтому, основываясь на свойстве почленного умножения верных числовых неравенств, мы можем перемножить полученные оценки одного смысла и . Имеем и дальше .

б) Как будем оценивать значения выражения ? Давайте начнем с оценивания значений дробей.

Нам известно, что x²≥0. Дальше действуем, отталкиваясь от свойств числовых неравенств, ссылка на соответствующий метод получения оценок дана в предыдущем пункте. Прибавление числа 1/2 к обеим частям последнего неравенства дает оценку . Из этой оценки понятно, что выражение принимает только положительные значения. Это нам позволяет опереться на следствие из свойства умножения обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число (если a и b – положительные числа и a<b (>, ≤, ≥), то (), и записать оценку и дальше . Последнюю оценку можно уточнить: . Поясним это. Выражение принимает только положительные значения, следовательно, дробь тоже принимает только положительные значения.

Так мы получили оценку значений дроби , она получилась следующей . Аналогично находятся оценки значений двух оставшихся дробей и , они таковы и .

Теперь мы можем оценить значения выражения . Для этого нужно провести почленное умножение трех найденных выше оценок одного смысла , и . Это действие мы вправе выполнить, так как из полученных оценок видно, что дроби , и принимают только положительные значения. Имеем

в) Для получения оценки значений выражения нам понадобятся следующие известные результаты и . Дальше будем использовать метод получения оценок с использованием свойств неравенств. Прибавление ко всем частям двойного неравенства числа 3 дает оценку . Деление всех частей неравенства на положительное число пи и прибавление ко всем частям полученного двойного неравенства числа 1 дает оценку . Остается почленно умножить оценки и . Такое умножение проводить можно, так как выражения sinx+3 и принимают только положительные значения, что отчетливо видно из полученных оценок. Заметим, что полученная в результате умножения оценка будет записана с помощью знака строгого неравенства (знак нестрогого неравенства остается только тогда, когда все умножаемые неравенства записаны с помощью знаков нестрогих неравенств). Имеем

а)

б)

в)