Укажите оценки значений следующих выражений: а) , б) −5·(|x|+2).

а) Нам известны оценки значений основных элементарных функций. В частности, для решения поставленной задачи нам потребуется оценка значений арктангенса: . Очевидно, выражение , оценка значений которого нас интересует, отличается от выражения arctgx числовым коэффициентом . Метод получения оценок с использованием свойств числовых неравенств позволяет проводить умножение оценок на положительное число с сохранением знака неравенства. Поэтому мы вправе умножить каждую часть оценки на положительное число , что даст нужный нам результат. Имеем и дальше .

Так выглядит решение без пояснений:

б) Оценим значения выражения −5·(|x|+2). Нам известна оценка значений функции y=|x|, так что будем исходить из результата |x|≥0. Дальнейшие действия, как и в предыдущем примере а), будем выполнять на основе свойств числовых неравенств. Сначала прибавим к обеим частям неравенства |x|≥0 число 2, имеем |x|+2≥0+2 и дальше |x|+2≥2. Для получения интересующей нас оценки остается умножить обе части последнего результата на −5, при этом нужно не забыть изменить знак неравенства на противоположный:
−5·(|x|+2)≤−5·2 −5·(|x|+2)≤−10

Запишем краткое решение:
|x|≥0
|x|+2≥2
−5·(|x|+2)≤−5·2
−5·(|x|+2)≤−10.

а)

б) −5·(|x|+2)≤−10