Как оценить значение выражения? Методы получения оценок, примеры
В этой статье мы разберем, во-первых, что понимают под оценкой значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. По ходу будем приводить решения характерных примеров.
Что значит оценить значение выражения?
Нам не удалось найти в школьных учебниках явного ответа на вопрос, что понимается под оценкой значения выражения. Попробуем сами разобраться с этим, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые все же содержатся в учебниках и в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.
Давайте посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Приведем несколько цитат:
-
«Пример. Известно, что 2,1<a<2,2; 3,7<b<3,8. Найти оценки для числа: а) 2·a; б) −3·b; в) a+b; г) a−b; д) a2; е) b3; ж)1/a.
Решение. а) Умножив все части двойного неравенства 2,1<a<2,2 на одно и то же положительное число 2, получим: 2·2,1<2·a<2·2,2, т.е. 4,2<a<4,4.
…
в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим:
…
ж) … из двойного неравенства 2,1<a<2,2 следует, что 1/2,1>1/a>1/2,2, т.е. 5/11<1/a<10/21» [1, с. 187-188; 2, с. 38]. -
«Пример. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной a мм, если известно, что 54,2<a<54,3.
Периметр равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле P=3·a. Умножим на 3 обе части каждого из неравенств 54,2<a и a<54,3 и запишем результат в виде двойного неравенства: 54,2·3<3·a<54,3·3, 162,6<3·a<162,9. Значит, периметр P данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм» [3, с. 158].
После этого поясняющего примера следует ряд заданий. Запишем два из них.
«Пользуясь тем, что
, оцените значение выражения: а) 
; б) 
. Оцените значение выражения 1/y, если: а) 5<y<8; б) 0,125<y<0,25» [3, с. 160].
- «Заметим, что предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда позволяет найти его решения или установить, что уравнение не имеет решений. … Решить уравнение (cos2x−cos4x)2=4+cos2x. Так как |cos2x−cos4x|≤2, то (cos2x−cos4x)2≤4 …. Для правой части исходного уравнения справедливо неравенство 4+cos2x≥4 …» [4, с. 330].
-
«
. Левая часть уравнения не больше 1, а правая – не меньше 1 …» [5, c. 29].
- «cos2x=1/2+2k, k∈Z. Но |cos2x|≤1, поэтому k=0» [6, с. 140].
В двух первых примерах фигурируют оценки чисел и числовых выражений. Там мы имеем дело с оценкой одного единственного значения выражения. В остальных примерах фигурируют оценки, относящиеся к выражениям с переменными. Каждому значению переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, понятно, является подмножеством области допустимых значений) соответствует свое значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество X) не состоит из единственного числа, то выражению с переменной отвечает множество значений выражения. В этом случае приходится говорить про оценку не одного единственного значения, а про оценку всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X).
За рассуждениями мы немного отвлеклись от поиска ответа на вопрос, что значит оценить значение выражения. Приведенные выше примеры продвигают нас в этом деле, и позволяют принять два следующих определения:
Определение
Оценить значение числового выражения – это значит указать числовое множество, содержащее оцениваемое значение. При этом указанное числовое множество будет оценкой значения числового выражения.
Определение
Оценить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве X) – это значит указать числовое множество, содержащее все значения, которые принимает выражение на ОДЗ (или на множестве X). При этом указанное множество будет оценкой значений выражения.
Несложно убедиться, что для одного выражения можно указать не единственную оценку. Например, числовое выражение 
можно оценить как 
, или 
, или 
, или 
, и т.д. Это же касается и выражений с переменными. Например, выражение 
на ОДЗ можно оценить как 
, или 
, или 
, и т.д. В связи с этим в записанные определения стоит добавить уточнение, касающееся указываемого числового множества, представляющего собой оценку: оценка не должна быть абы какой, она должна отвечать целям, для которых ее находят. Например, для решения уравнения 
подходит оценка 
. Но эта оценка уже не подходит для решения уравнения 
, здесь значения выражения 
нужно оценить иначе, например, так: 
.
Стоит отдельно отметить, что одной из оценок значений выражения f(x) является область значений соответствующей функции y=f(x).
В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи оценок. Обычно, оценки записываются при помощи неравенств. Вы наверняка это и так заметили.
Оценка значений выражения и оценка значений функции
По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить про оценку значений функции. Это выглядит довольно естественно, особенно если при этом иметь в виду функции, заданные формулами, ведь оценка значений выражения f(x) и оценка значений функции y=f(x) по сути есть одно и то же, что очевидно. Более того, процесс получения оценок часто удобно описывать именно в терминах оценки значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения проводится через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.
О точности оценок
В первом пункте этой статьи мы сказали, что для выражения могут иметь место множество оценок его значений. Являются ли одни из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.
Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих пунктах, можно получить две оценки значений выражения 
: первая - это 
, вторая - это 
. Трудозатраты на получение этих оценок существенно отличаются. Первая из них практически очевидна, а получение второй оценки сопряжено с нахождением наименьшего значения подкоренного выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня. В некоторых случаях с решением поставленной задачи позволяет справиться любая из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение 
. Понятно, что в этом случае мы бы ограничились нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, не напрягались бы в нахождении второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, первая наша оценка не позволяет решить уравнение 
, а оценка позволяет это сделать. То есть, в этом случае первой очевидной оценки нам было бы недостаточно, и нам пришлось бы находить вторую оценку.
Так мы подошли к вопросу о точности оценок. Можно детально определить, что понимать под точностью оценки. Но для наших нужд в этом нет особой надобности, нам будет достаточно упрощенного представления о точности оценки. Давайте договоримся воспринимать точность оценки как некоторый аналог точности приближения. То есть, давайте из двух оценок значений некоторого выражения f(x) считать более точной ту, которая «ближе» к области значений функции y=f(x). В этом смысле оценка является самой точной из всех возможных оценок значений выражения , так как она совпадает с областью значений соответствующей функции 
. При этом понятно, что оценка точнее оценки . Другими словами, оценка грубее оценки .
Есть ли смысл все время искать самые точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что для решения задач часто хватает сравнительно грубых оценок. А главное преимущество таких оценок перед точными оценками в том, что часто их значительно проще получить.
Основные методы получения оценок
Оценки значений основных элементарных функций
В школе подробно изучаются основные элементарные функции, их свойства и графики. В частности, нам хорошо известны области значений этих функций. Их, естественно, можно использовать в качестве оценок значений соответствующих функций и отвечающих им выражений. Давайте запишем наиболее часто используемые на практике результаты:
-
Отталкиваясь от известных областей значений степенных функций при различных показателях, имеем
-
, здесь как 2·n мы обозначили положительный и четный показатель степени. Например, пусть нам нужно оценить значение выражения x2. Этому выражению соответствует, в частности, хорошо известная нам степенная функция y=x2, показатель которой есть четное положительное число. Мы знаем, что область значений этой функции есть множество [0, +∞). Это множество и берем в качестве интересующей нас оценки: x2∈[0, +∞) или в более привычной для оценок записи x2≥0. В дальнейшем мы не будем описывать такие довольно очевидные действия столь подробно. Будем делать это в уме, а записывать лишь результат. Так x2≥0. Аналогично x14≥0.
-
, здесь как −2·n мы обозначили отрицательный и четный показатель степени. Так x−2>0, также x−6>0.
-
, здесь как m/n мы обозначили положительную и несократимую дробь. Приведем несколько примеров: 
, 
(здесь показатель 0,7 есть лишь другая форма записи положительной несократимой дроби 7/10) и 
(в этом примере показателю 
отвечает положительная несократимая дробь 17/5).
-
, здесь −m/n – отрицательная и несократимая дробь. Например, 
, 
и 
.
-
, здесь 
- положительное иррациональное число. Для наглядности запишем два примера: 
и 
.
-
, здесь 
- отрицательное иррациональное число. Например, 
и 
.
-
-
Для функции
в плане оценки интересен такой результат:
-
, здесь 2·m – любое четное положительное число. Так 
и 
.
-
-
Для любой показательной функции
имеет место оценка
-
. Вот пара примеров: 
и 
.
-
-
Для тригонометрических функций отметим оценки для синуса и косинуса:
-
Также стоит помнить оценки значений обратных тригонометрических функций:
Иногда на практике в качестве оценки тригонометрической или обратной тригонометрической функции оказывается полезным не соответствующее двойное неравенство, а одна из его частей. Например, в зависимости от ситуации для выражения sinx можно использовать оценку −1≤sinx≤1, или sinx≥−1, или sinx≤1.
Вы наверняка заметили, что мы записали оценки значений не всех основных элементарных функций. Например, в приведенном списке нет оценки значений логарифмической функции. Дело в том, что область значений логарифмической функции есть множество всех действительных чисел, и от оценки −∞<logax<+∞ мало практического толка. Не вошедшие в список функции интересны в плане оценки не на всей их области определения, а на некоторых более узких множествах. Об этом мы поговорим чуть позже.
Оценка значений функции y=|x|
Помимо основных элементарных функций, хорошо изученной и полезной в плане получения оценок является функция y=|x|. Нам известна область значений этой функции: [0, +∞). Она дает нам оценку |x|≥0.
Метод оценки значений выражений на базе свойств числовых неравенств
В двух предыдущих пунктах мы, можно сказать, собирали исходные данные – простейшие оценки. Теперь можно переходить к методам, позволяющим оперировать простейшими оценками с целью получения оценок значений более сложных выражений и функций.
Первый метод получения оценок, который мы рассмотрим, опирается на свойства числовых неравенств. Он состоит в выполнении действий над простейшими оценками по правилам, аналогичным правилам выполнения действий с верными числовыми неравенствами. Давайте разбираться с этими правилами. Будем формулировать их в виде утверждений, и приводить примеры их применения.
Утверждение
Если для выражения f(x) на ОДЗ (или на некотором множестве X) имеет место оценка f(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое число, и C – произвольное число, то f(x)+C<B+C (f(x)+C>B+C, f(x)+C≤B+C, f(x)+C≥B+C).
На менее формальном языке это утверждение звучит так: к обеим частям справедливой оценки значений выражения можно прибавить одно и то же число или из обеих частей оценки можно отнять одно и то же число.
Давайте приведем доказательство этого утверждения. Оно аналогично доказательству соответствующего свойства числовых неравенств. Сделаем это для одного знака неравенства, а именно, для <, для остальных знаков неравенств доказательства проводятся аналогично.
Пусть для значений выражения f(x) на ОДЗ (или на множестве X) имеет место оценка f(x)<B. Это означает, что для любого значения x0 из ОДЗ (или из множества X) справедливо числовое неравенство f(x0)<B. Нам известны свойства числовых неравенств, в частности, мы знаем, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить одно и то же число, это действие дает верное числовое неравенство. Значит, f(x0)+C<B+C, где C – произвольное число, - верное числовое неравенство. Это неравенство верно для любого x0 из ОДЗ (или из множества X). Из этого следует, что на ОДЗ (или на множестве X) имеет место оценка f(x)+C<B+C. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим пример. Давайте найдем оценку значений выражения x6−7.
Разобранное утверждение, как, впрочем, и все описанные ниже, можно распространить на оценки в виде двойных неравенств, ведь, по сути, двойное неравенство есть система двух обычных неравенств. Разберемся с этим на примере.
Переходим к следующим утверждениям. Их будем давать без доказательств. Оправдаем это тем, что по сути эти доказательства такие же, как доказательство предыдущего утверждения, они отличаются лишь используемыми в них свойствами числовых неравенств. Например, в доказательстве следующего утверждения участвует свойство умножения обеих частей верного числового неравенства на одно и то же положительное число.
Утверждение
Если для выражения f(x) на ОДЗ (или на некотором множестве X) имеет место оценка f(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое число, и C – произвольное число, то на ОДЗ (или на некотором множестве X) справедлива оценка C·f(x)<C·B (C·f(x)>C·B, C·f(x)≤C·B, C·f(x)≥C·B), а если C – отрицательное число, то C·f(x)>C·B (C·f(x)<C·B, C·f(x)≥C·B, C·f(x)≤C·B).
Другими словами, если обе части справедливой на ОДЗ (или на множестве X) оценки умножить на одно и то же положительное число, то получится справедливая на ОДЗ (или на множестве X) оценка; если обе части справедливой на ОДЗ (или на множестве X) оценки умножить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится справедливая на ОДЗ (или на множестве X) оценка.
Рассмотрим применение на практике. Оценим значения выражений 
и −5·(|x|+2).
Последнее утверждение опирается на свойство умножения числового неравенства на число. Это свойство имеет два следствия. Первое: если a<b (>, ≤, ≥), то −a>−b (<, ≥, ≤). Второе: если a и b – положительные числа и если a<b (>, ≤, ≥), то 
(
). Сформулируем утверждения, базирующиеся на этих следствиях, которые используются для нахождения оценок значений выражений и покажем примеры их применения.
Утверждение
Если для выражения f(x) на ОДЗ (или на некотором множестве X) имеет место оценка f(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое число, то на ОДЗ (или на некотором множестве X) справедлива оценка −f(x)>−B (−f(x)<−B, −f(x)≥−B, −f(x)≤−B).
Утверждение
Если на ОДЗ (или на некотором множестве X) выражение f(x) принимает только положительные значения и при этом имеет место оценка f(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое положительное число, то на ОДЗ (или на некотором множестве X) справедлива оценка 
(
).
Здесь заметим, что в случаях, когда выражение f(x) принимает только положительные значения и при этом f(x)>B или f(x)≥B, оценки 
и 
можно уточнить до 
и 
. Это просто объяснить: так как f(x) принимает только положительные значения, то дробь 1/f(x), очевидно, тоже принимает только положительные значения.
Следует отметить, последнее утверждение можно использовать и для получения оценок значений выражения 
в случаях, когда выражение f(x) принимает только отрицательные значения и при этом имеет место оценка f(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое отрицательное число.
Покажем, как это делается при решении характерного примера.
Переходим к следующему утверждению, в основе которого лежит свойство сложения верных числовых неравенств одинакового смысла.
Утверждение
Если для выражений f(x) и g(x) на некотором множестве X имеют место оценки f(x)<B (>, ≤, ≥) и g(x)<D (>, ≤, ≥), где B и D – некоторые числа, то на множестве X справедлива оценка f(x)+g(x)<B+D (f(x)+g(x)>B+D, f(x)+g(x)≤B+D, f(x)+g(x)≥B+D).
Аналогично, если на некотором множестве X имеют место оценки f(x)<B (>, ≤, ≥) и g(x)≤D (≥, <, >), где B и D – некоторые числа, то на множестве X справедлива оценка f(x)+g(x)<B+D (f(x)+g(x)>B+D, f(x)+g(x)<B+D, f(x)+g(x)>B+D).
Запоминать эти утверждения удобно в упрощенных формулировках. Так нужно понимать два момента. Первый: справедливые на множестве X оценки одного смысла можно почленно складывать, что дает новую справедливую на множестве X оценку того же смысла. Второй: если одна из складываемых оценок имеет знак строгого неравенства, а вторая – нестрогого, то полученная в результате сложения оценка будет иметь знак строгого неравенства.
Здесь стоит обговорить несколько моментов. Первый: на практике в качестве множества X часто выступает общая для выражений f(x) и g(x) область допустимых значений. Второй: записанное утверждение естественным образом распространяется на почленное сложение трех и большего количества оценок. Третий: если для одного из выражений f(x) и g(x) имеет место оценка в виде двойного неравенства, а для второго – в виде обычного неравенства, то для получения оценки значений суммы f(x)+g(x) от двойного неравенства стоит взять одну из его частей. Например, пусть A≤f(x)≤B и g(x)≤C, и нужно найти оценку значений суммы f(x)+g(x). Для этого мы будем складывать оценки одного смысла f(x)≤B и g(x)≤C. То есть, оценку A≤f(x)≤B придется заменить оценкой f(x)≤B. Четвертый: вычитания оценок как такового не существует. И если по известным оценкам значений выражений f(x) и g(x) нужно найти оценку значений выражения f(x)−g(x), то ее стоит искать путем сложения оценок значений выражений f(x) и –g(x), то есть, разность f(x)−g(x) стоит рассматривать как сумму f(x)+(−g(x)).
Переходим к утверждению, которое базируется на свойстве умножения числовых неравенств одного смысла.
Утверждение
Если на некотором множестве X выражения f(x) и g(x) принимают только положительные значения и для них имеют место оценки f(x)<B (>, ≤, ≥) и g(x)<D (>, ≤, ≥), где B и D – некоторые положительные числа, то на множестве X справедлива оценка f(x)·g(x)<B·D (f(x)·g(x)>B·D, f(x)·g(x)≤B·D, f(x)·g(x)≥B·D).
Аналогично, если на некотором множестве X выражения f(x) и g(x) принимают только положительные значения и для них имеют место оценки f(x)<B (>, ≤, ≥) и g(x)≤D (≥, <, >), где B и D – некоторые положительные числа, то на множестве X справедлива оценка f(x)·g(x)<B·D (f(x)·g(x)>B·D, f(x)·g(x)<B·D, f(x)·g(x)>B·D).
Для себя запоминаем эти утверждения в упрощенных формулировках. Если выражения f(x) и g(x) на множестве X принимают только положительные значения, то можно умножать оценки значений этих выражений одного смысла. Если оценка хотя бы одного из этих выражений имеет знак строгого неравенства, то оценка произведения также будет иметь знак строгого неравенства.
Естественным образом эти утверждения распространяются на произведение трех и большего количества оценок.
Рассмотрим, как все сказанное реализуется на практике.
Последнее утверждение позволяет в определенных случаях получать оценки произведений f(x)·g(x), в которых одно из выражений f(x) или g(x) принимает только положительные значения, а другое – только отрицательные значения, или в которых оба выражения f(x) и g(x) принимают только отрицательные значения. В подобных случаях приходится «поиграть» с минусами. Например, если выражение f(x) принимает только положительные значения, а выражение g(x) принимает только отрицательные значения, то оценить значения произведения f(x)·g(x) может помочь его преобразование к виду –(f(x)·(−g(x))). Здесь выражения f(x) и –g(x) принимают только положительные значения, и если при этом оценки значений этих выражений оказываются одного смысла, то оказывается возможным их умножение на основании последнего утверждения. Это позволяет получить оценку значений выражения f(x)·(−g(x)) и дальше - оценку значений выражения –(f(x)·(−g(x))), а значит, и выражения f(x)·g(x). Рассмотрим, как сказанное реализуется на практике.
Иногда последнее утверждение позволяет найти оценку произведения f(x)·g(x) и в случаях, когда выражения f(x) и g(x) принимают не только положительные или не только отрицательные значения. Например, нахождение оценки значений выражения f(x)·g(x) в случае, когда для f(x) имеет место оценка −3≤f(x)≤5 и для g(x) имеет место оценка g(x)≥2, можно рассматривать как объединение двух ситуаций −3≤f(x)≤0, g(x)≥2 и 0<f(x)≤5, g(x)≥2. В общем случае оценка значения выражения f(x)·g(x) находится путем определения наибольшего и наименьшего значений функции y=f(x)·g(x), этот метод нахождения оценок мы рассмотрим в одном из следующих пунктов.
Из свойства умножения числовых неравенств одинакового смысла есть следствие, связанное с возведением неравенств в натуральную степень. На базе этого следствия можно сформулировать утверждение, позволяющее находить оценку натуральной степени выражения f(x) по оценке значений самого выражения f(x).
Утверждение
Если на некотором множестве X выражение f(x) принимает только положительные значения и при этом f(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое положительное число, то на множестве X имеет место оценка fn(x)<Bn (>, ≤, ≥).
Возводить в нечетную степень можно оценки значений выражения f(x) вне зависимости от того, какие значения принимает выражение f(x).
Если выражение f(x) принимает и положительные, и отрицательные значения, то возведение оценки в четную степень стоит проводить отдельно для положительных и отдельно для отрицательных значений, после чего объединить результаты.
Оценка значений функции y=f(g(x)) через оценку значений функции y=f(x)
Сейчас мы разберем метод, позволяющий по известной оценке значений функции y=f(x) указать оценку значений сложной функции y=f(g(x)) (или соответствующего выражения f(g(x))).
В основе этого метода лежит следующее утверждение:
Утверждение
Любое значение функции y=f(g(x)) принадлежит множеству Y, где Y – это некоторая оценка значений функции y=f(x) на ее области определения.
Доказательство
Доказательство этого утверждения элементарное. Предположим, что существует некоторое значение функции y=f(g(x)), не принадлежащее множеству Y, обозначим его y0. Пусть это значение функция y=f(g(x)) принимает в точке x0. Тогда имеет место равенство y0=f(g(x0)). Так как значение выражения g(x0) есть некоторое число (это значение функции g в точке x0), то выражение f(g(x0)) можно понимать как значение функции f в точке g(x0). Следовательно, y0 – это значение функции f в точке g(x0). Это означает, что y0∈E(f), где E(f) – область значений функции y=f(x). Но так как Y – это оценка значений функции y=f(x), справедливая на всей ее области определения, то E(f)⊆Y, следовательно, y0∈Y. Получили противоречие. Так утверждение доказано методом от противного.
Таким образом, в качестве оценки значений функции y=f(g(x)) можно указать любую оценку значений функции y=f(x), справедливую на всей области определения функции y=f(x). Заметим, эта оценка будет справедлива как на всей области определения функции y=f(g(x)), так и на любом ее подмножестве.
Приведем примеры. Мы знаем, что . Эта оценка вместе с доказанным выше утверждением позволяет нам утверждать, например, что 
или 
. Здесь уместны упрощенные рассуждения: так как 
принимает только неотрицательные значения, то и . Еще пример. Нам хорошо известна оценка 
. Ее использование вкупе с доказанным выше утверждением дает возможность указать оценки значений, например, таких выражений 
и 
. Имеем 
и 
Рассмотрим решение более сложного примера.
В заключение скажем, что хотя рассмотренный метод получения оценок очень хорош своей простотой, но часто полученные с его помощью оценки оказываются довольно грубыми и непригодными для решения определенных задач. Например, полученная с его помощью оценка 
не подходит для решения уравнения 
. Для получения более точных оценок приходится прибегать к другим методам оценивания значений.
Учет ОДЗ при получении оценок значений выражений
Нужно ли при оценивании значений выражения учитывать ОДЗ для этого выражения? По умолчанию все манипуляции над выражением мы проводим на ОДЗ. То есть, даже если мы не находим ОДЗ и не оговариваемся про нее при решении какой-либо задачи, все равно мы находимся в ее рамках. Это касается и задачи получения оценки значений выражения.
На практике довольно часто нет нужды в отдельном нахождении ОДЗ при получении оценки. Например, выше мы записали оценку . При этом мы ни словом не обмолвились про ОДЗ. Это можно расценивать так: записанная оценка справедлива на всей области допустимых значений переменной x для выражения . Аналогично, нам не обязательно озадачиваться нахождением ОДЗ, чтобы записать оценку 
. Эта оценка справедлива для любого значения переменной из ОДЗ для выражения 
.
Однако, не менее часто приходится более внимательно относиться к ОДЗ при нахождении оценки значений выражения. Разберем наиболее характерные ситуации.
Утверждение
Если ОДЗ для выражения f(g(x)) есть пустое множество, то нет смысла говорить об оценке значений этого выражения.
Это очевидное утверждение: если выражение не определено ни для одного значения переменной, то оно не принимает никаких значений, поэтому и нет смысла говорить об оценке его значений. Этих значений попросту нет.
Приведем пример. Нет смысла говорить об оценке значений выражения 
. Действительно, ОДЗ для этого выражения определяется условием –x2−3≥0, но, для значений выражения –x2−3 очевидна оценка –x2−3≤−3, откуда следует, что ОДЗ есть пустое множество.
Утверждение
Если множество, отвечающее оценке значений выражения g(x), полностью содержит ОДЗ для выражения f(x), то в качестве оценки значений выражения f(g(x)) следует брать область значений функции y=f(x) или любое другое более широкое множество.
Это тоже довольно очевидно. Что значит множество, отвечающее оценке значений выражения g(x), полностью содержит ОДЗ для выражения f(x)? Это значит, что в множество, отвечающее оценке, входят все без исключения значения переменной x, при которых возможно вычислить значения выражения f(x). Отсюда понятно, что выражение f(g(x)) принимает каждое значение из области значений функции y=f(x).
Разберем примеры использования этого утверждения для получения оценок.
Опора на монотонность функций
Для получения оценок значений функций и соответствующих выражений может использоваться монотонность функции. В частности, если
- область определения функции y=f(x) есть некоторый числовой промежуток (а не объединение нескольких числовых промежутков),
- функция y=f(x) является возрастающей или убывающей на всей области определения,
- известна оценка значений функции y=g(x),
то можно получить оценку значений сложной функции y=f(g(x)).
Разберем метод, позволяющий это делать.
Метод базируется на следующем утверждении:
Утверждение
Если область определения функции y=f(x) есть некоторый числовой промежуток и функция y=f(x) – возрастающая, и если для функции y=g(x) имеет место оценка g(x)<B (>, ≤, ≥), где B – некоторое число, принадлежащее области определения функции y=f(x), то для сложной функции y=f(g(x)) справедлива оценка f(g(x))<f(B) (>, ≤, ≥).
При тех же условиях если y=f(x) – убывающая функция, то имеет место оценка f(g(x))>f(B) (<, ≥, ≤).
Доказательство
Приведем доказательство для одного случая. Для других случаев доказательства будут аналогичными.
Пусть область определения функции y=f(x) есть некоторый числовой промежуток и на нем функция y=f(x) возрастает, для функции y=g(x) имеет место оценка g(x)<B, причем число B принадлежит области определения функции y=f(x). Докажем, что f(g(x))<f(B).
Предположим, что это не так, то есть, предположим, что f(g(x))≥f(B). Из этого неравенства и возрастания функции f следует, что для всех значений переменной x, при которых неравенство f(g(x))≥f(B) имеет смысл, справедливо неравенство g(x)≥B. Но это противоречит условию об оценке g(x)<B. Так методом от противного доказано наше утверждение.
Переходим к примерам.
Выше в этом пункте мы говорили про нахождение оценок значений функции y=f(g(x)) по известным оценкам g(x)<B (>, ≤, ≥) в случаях, когда функция y=f(x) такая, что ее область определения есть некоторый числовой промежуток и на нем функция монотонна. По аналогичным принципам по известным оценкам g(x)<B (>, ≤, ≥) можно находить оценки значений функции y=f(g(x)) в случаях, когда функция y=f(x) монотонная не на всей области определения, а на множестве x<B (>, ≤, ≥), которое является частью области определения функции y=f(x).
То есть,
Утверждение
если g(x)<B (>, ≤, ≥) и функция y=f(x) возрастает на множестве x<B (>, ≤, ≥), то для функции y=f(g(x)) имеет место оценка f(g(x))<f(B) (>, ≤, ≥).
если же g(x)<B (>, ≤, ≥) и функция y=f(x) убывает на множестве x<B (>, ≤, ≥), то для функции y=f(g(x)) имеет место оценка f(g(x))>f(B) (<, ≥, ≤).
Преобразование выражения с целью получения оценки
Для получения оценки значений выражения можно прибегать к преобразованию оцениваемого выражения. Делать это следует с опорой на следующее довольно очевидное утверждение:
Утверждение
Если на некотором множестве X значения выражений f1(x) и f2(x) равны, то оценка значений одного из этих выражений является и оценкой значений другого.
Доказательство
Пусть Y – множество, отвечающее оценке значений выражения f2(x) на множестве X. Предположим, что Y не является оценкой значений выражения f1(x) на множестве X. Это означает, что в множестве X существует некоторое значение переменной x, обозначим его x0, такое, что f1(x0) не принадлежит множеству Y. Но на множестве X значения выражений f1(x) и f2(x) равны, значит, f1(x0)=f2(x0). При этом f2(x0) принадлежит множеству Y. Следовательно, f1(x0) принадлежит множеству Y. Так мы пришли к противоречию. Значит, наше предположение неверно.
Аналогично доказывается, что если Y – это оценка значений выражения f1(x) на множестве X, то она является и оценкой значений выражения f2(x) на множестве X.
Утверждение можно считать доказанным методом от противного.
Из этого утверждения следует, что для получения оценки значений выражения f(x) можно проводить тождественные преобразования выражения, при которых не происходит сужения ОДЗ.
В предыдущих пунктах мы уже прибегали к тождественным преобразованиям выражений, которые нам позволяли получить оценки. Помните, как мы для получения оценки значений выражения 
преобразовывали его к виду 
, чтобы в знаменателе оказалось выражение, принимающее только положительные значения? Выше мы проводили и другие тождественные преобразования, заключающиеся в «игре с минусами». Например, разность arcsinx−2·arccosx мы заменяли суммой arcsinx+(−2·arccosx), чтобы в дальнейшем провести сложение оценок. Давайте рассмотрим пример получения оценки через более интересное предварительное преобразование выражения, заключающееся в выделении квадрата.
Оценка значений квадратного трехчлена
В принципе, вопрос оценки значений квадратных трехчленов можно было отдельно не рассматривать. Дело в том, что он не несет в себе каких-либо особенностей, и рассмотренные выше методы позволяют получить оценку любого квадратного трехчлена. Однако на практике довольно часто приходится оценивать значения квадратных трехчленов, так что давайте все же уделим должное внимание этому процессу.
Во-первых, в качестве оценки значений квадратного трехчлена a·x2+b·x+c можно указать область значений соответствующей квадратичной функции y=a·x2+b·x+c. А область значений можно определить, вычислив ординату вершины параболы и выяснив по знаку старшего коэффициента a, куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.
Во-вторых, получить оценку значений квадратного трехчлена позволяет выделение квадрата двучлена.
Покажем, как это реализуется на практике.
Оценка через исследование функции
Получение оценки значений выражения f(x) или соответствующей функции y=f(x) в общем случае осуществляется через исследование функции y=f(x). Исследование функции позволяет нам получить полное представление о поведении функции на каком-то интересующем нас промежутке или на всей ее области определения. А это позволяет указать нужную нам оценку значений этой функции.
На практике наиболее часто приходится оценивать значения функции на каком-либо числовом отрезке. При этом исследование функции с целью получения оценки часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
