Деление одночлена на одночлен: правило, примеры.
Вот мы и подошли к заключительному этапу изучения действий с одночленами. Со сложением и вычитанием одночленов, а также с их умножением и возведением в степень мы уже познакомились. Осталось лишь рассмотреть деление одночлена на одночлен.
Начнем мы с рассуждений на тему, всегда ли возможно выполнить деление одночленов. После этого перейдем к правилу, по которому выполняется деление одночленов. И наконец, рассмотрим примеры применения этого правила при решении примеров.
Когда можно разделить одночлен на одночлен?
Вообще, было бы логично деление одночленов рассматривать при изучении принципов работы с рациональными (алгебраическими) дробями. Это связано с тем, что в общем случае результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь, и лишь в частных случаях – одночлен.
Другими словами, разделить одночлен на одночлен не всегда возможно в том смысле, чтобы в частном получился одночлен.
Перечислим условия, которым должен удовлетворять одночлен, который делят, и одночлен, на который делят, чтобы результат их деления был одночленом. Будем считать, что исходные одночлены записаны в стандартном виде.
Во-первых, любой одночлен можно разделить на одночлен, тождественно равный отличному от нуля числу, и в частном получится одночлен. Например, если разделить одночлен 3·x2·y на 1, то получится одночлен 3·x2·y, а если его разделить на , то получится одночлен .
Во-вторых, одночлен, который делят, должен в своей записи иметь множители со всеми переменными, присутствующими в записи одночлена, на который делят, причем показатели степеней этих переменных должны быть не меньше, чем показатели степеней соответствующих переменных в одночлене-делителе. Например, можно разделить −2·x3·y·z5 на 4·y·z3, так как одночлен −2·x3·y·z5 содержит в своей записи множители и с переменной y, и с переменной z, причем их степени 1 и 5 не меньше, чем степени 1 и 3 соответствующих переменных в одночлене 4·y·z3.
Заметим, что первое из озвученных условий можно было не записывать отдельно, так как оно покрывается вторым условием. Его мы записали лишь с одной целью - не забыть, что возможно деление на одночлены-числа.
В остальных случаях деление одночлена на одночлен либо дает в результате рациональную дробь, либо его вообще нельзя выполнить, когда имеет место деление на одночлен, тождественно равный нулю.
Правило деления одночлена на одночлен
Деление одночлена на одночлен при указанных выше условиях можно выполнить на базе свойств умножения и деления (свойства деления произведения двух чисел на число и свойства деления числа на произведение двух чисел), а также свойства деления степеней с одинаковыми основаниями.
При этом следует придерживаться следующего правила:
- Если одночлены заданы не в стандартном виде, то они сначала приводятся к стандартному виду.
- Дальше составляется частное, для чего одночлены заключаются в скобки и между ними ставится знак деления.
- После этого группируются числа и одинаковые переменные.
- Наконец, выполняется деление чисел и используется свойство деления степеней с одинаковыми основаниями.
В результате выполнения всех шагов озвученного правила деления одночлена на одночлен, будет получено частное – новый одночлен.
Если же к вопросу деления одночленов подходить после знакомства с рациональными дробями, то достаточно записать отношение одночленов в виде рациональной дроби, после чего сократить рациональную дробь, если это возможно. В результате будет получено частное – рациональная дробь, которая в некоторых случаях сократится до одночлена (когда исходные одночлены удовлетворяют перечисленным в предыдущем пункте условиям).
Примеры
Осталось разобраться с делением одночленов на практике. Рассмотрим примеры деления одночлена на одночлен с использованием правила из предыдущего пункта.
Пример.
Выполните деление одночленов 16·a·b7 и −4·b3.
Решение.
Несложно убедиться, что в результате деления данных одночленов должен получиться одночлен. Действительно, одночлен 16·a·b7 содержит переменную b, причем степень этой переменной равна 7, что больше степени переменной b в одночлене −4·b3, на который предстоит выполнить деление.
Теперь пройдем все шаги правила деления одночленов.
Исходные одночлены уже записаны в стандартном виде, так что первый шаг уже выполнен.
На втором шаге записываем частное: (16·a·b7):(−4·b3).
Дальше, используя свойства деления и умножения, сгруппируем числа и множители с одинаковыми переменными: (16·a·b7):(−4·b3)=
Осталось выполнить деление чисел и воспользоваться свойством деления чисел с одинаковыми основаниями, имеем (16:(−4))·a·(b7:b3)=
Запишем все решение примера кратко:
(16·a·b7):(−4·b3)=
Заметим, что удобнее и нагляднее вместо знака деления использовать черту дроби, при этом решение запишется так: .
Ответ:
.
Разберем решение еще одного примера, для закрепления навыков деления одночленов.
Пример.
Выполните деление (0,4·x·y3·x2·0,8·z5·x):(x·0,12·x).
Решение.
Очевидно, делящиеся одночлены записаны не в стандартном виде. Поэтому сначала приведем одночлены к стандартному виду: 0,4·x·y3·x2·0,8·z5·x=
А дальше действуем как в предыдущем примере: , проводим деление десятичных дробей и , следовательно, .
Ответ:
.
Пример.
Разделите одночлен −3·x·y на одночлен 2·x5·z.
Решение.
Результатом деления данных одночленов будет не одночлен, а рациональная дробь. Это следует из того, что эти одночлены не удовлетворяют условиям, указанным в первом пункте этой статьи. Действительно, одночлен −3·x·y не содержит в своей записи переменной z, более того, степень переменной x меньше соответствующей степени переменной x в одночлене 2·x5·z.
Таким образом, нам лишь нужно записать отношение исходных одночленов в виде рациональной дроби и сократить ее: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.