Как освободиться от иррациональности в знаменателе? Способы, примеры, решения
В 8 классе на уроках алгебры в рамках темы преобразование иррациональных выражений заходит разговор про освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. В этой статье мы разберем, что это за преобразование, рассмотрим, какие действия позволяют освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, и приведем решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?
Сначала нужно разобраться, что такое иррациональность в знаменателе и что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. В этом нам поможет информация из школьных учебников [1, с. 96; 2, с. 74-75]. Заслуживают внимания следующие моменты.
Когда запись дроби содержит в знаменателе знак корня (радикал), то говорят, что в знаменателе присутствует иррациональность. Вероятно, это связано с тем, что записанные при помощи знаков корней числа часто являются иррациональными числами. В качестве примера приведем дроби 
, 
, 
, 
, очевидно, знаменатели каждой из них содержат знак корня, а значит и иррациональность. В старших классах неизбежна встреча с дробями, иррациональность в знаменатели которых вносят не только знаки квадратных корней, но и знаки кубических корней, корней четвертой степени и т.д. Вот примеры таких дробей: 
, 
.
Учитывая приведенную информацию и смысл слова «освободиться», очень естественно воспринимается следующее определение:
Определение.
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби – это преобразование, при котором дробь с иррациональностью в знаменателе заменяется тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знаков корней.
Часто можно слышать, что говорят не освободиться, а избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Смысл при этом не меняется.
Например, если от дроби 
перейти к дроби 
, значение которой равно значению исходной дроби и знаменатель которой не содержит знака корня, то можно констатировать, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби. Еще пример: замена дроби 
тождественно равной ей дробью 
есть освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Итак, начальная информация получена. Остается узнать, что нужно делать, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
Способы освобождения от иррациональности, примеры
Обычно для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби используют два преобразования дроби: умножение числителя и знаменателя на отличное от нуля число или выражение и преобразование выражения в знаменателе. Ниже мы рассмотрим, как эти преобразования дробей используются в рамках основных способов, позволяющих избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Затронем следующие случаи.
В самых простых случаях достаточно преобразовать выражение в знаменателе. В качестве примера можно привести дробь, в знаменателе которой находится корень из девяти. В этом случае замена 
его значением 3 освобождает знаменатель от иррациональности.
В более сложных случаях приходится предварительно выполнять умножение числителя и знаменателя дроби на некоторое отличное от нуля число или выражение, что впоследствии позволяет преобразовать знаменатель дроби к виду, не содержащему знаков корней. Например, после умножения числителя и знаменателя дроби 
на 
, дробь принимает вид 
, а дальше выражение в знаменателе можно заменить выражением без знаков корней x+1. Таким образом, после освобождения от иррациональности в знаменателе дробь принимает вид 
.
Если говорить про общий случай, то чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, приходится прибегать к различным допустимым преобразованиям, иногда, довольно специфическим.
А теперь подробно.
Преобразование выражения в знаменателе дроби
Как уже было отмечено, один из способов избавления от иррациональности в знаменателе дроби состоит в преобразовании знаменателя. Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Решение.
Раскрыв скобки в знаменателе, придем к выражению 
. Дальше свойства корней позволяют перейти к дроби 
. Вычислив значения под знаками корней, имеем 
. Очевидно, в полученном выражении можно извлечь корни, что дает дробь 
, которая равна 1/16. Так мы избавились от иррациональности в знаменателе.
Обычно решение записывают кратко без пояснения, так как выполняемые действия довольно просты:
Ответ:
.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Решение.
Когда мы говорили про преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней, то отметили, что для любого выражения A при четных n (в нашем случае n=2) выражение 
можно заменить выражением |A| на всей ОДЗ переменных для исходного выражения. Поэтому, можно выполнить такое преобразование заданной дроби: 
, которое освобождает от иррациональности в знаменателе.
Ответ:
.
Умножение числителя и знаменателя на корень
Когда выражение в знаменателе дроби имеет вид 
, где выражение A не содержит знаков корней, то освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на . Это действие возможно, так как не обращается в нуль на ОДЗ переменных для исходного выражения. При этом в знаменателе получается выражение 
, которое легко преобразовать к виду без знаков корней: 
. Покажем применение этого подхода на примерах.
Пример.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 
, б) 
.
Решение.
а) Умножив числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трех, получим 
.
б) Чтобы избавиться от знака квадратного корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на 
, после чего проведем преобразования в знаменателе:
Ответ:
а) 
, б) 
.
В случае, когда в знаменателе находятся множители 
или 
, где m и n некоторые натуральные числа, числитель и знаменатель надо умножить на такой множитель, чтобы после этого выражение в знаменателе можно было преобразовать к виду 
или 
, где k – некоторое натуральное число, соответственно. Дальше легко перейти к дроби без иррациональности в знаменателе. Покажем применение описанного способа избавления от иррациональности в знаменателе на примерах.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: а) 
, б) 
.
Решение.
а) Ближайшее натуральное число, превосходящее 3 и делящееся на 5, есть 5. Чтобы показатель шестерки стал равен пяти, выражение в знаменателе надо умножить на 
. Следовательно, освобождению от иррациональности в знаменателе дроби будет способствовать выражение , на которое надо умножить числитель и знаменатель:
б) Очевидно, что ближайшее натуральное число, которое превосходит 15 и при этом делится без остатка на 4, это 16. Чтобы получить показатель степени в знаменателе стал равен 16, нужно умножить находящееся там выражение на 
. Таким образом, умножение числителя и знаменателя исходной дроби на (заметим, значение этого выражения не равно нулю при при каких действительных x) позволит избавиться от иррациональности в знаменателе:
Ответ:
а) 
, б) 
.
Умножение на сопряженное выражение
Следующий способ освобождения от иррациональности в знаменателе дроби покрывает случаи, когда в знаменателе находятся выражения вида 
, 
, 
, 
, 
или 
. В этих случаях, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, надо числитель и знаменатель дроби умножить на так называемое сопряженное выражение.
Осталось узнать, какие выражения являются сопряженными для указанных выше. Для выражения сопряженным выражением является , а для выражения сопряженным является выражение . Аналогично, для выражения сопряженным является , а для выражения сопряженным является . И для выражения сопряженным является , а для выражения сопряженным является . Итак, выражение, сопряженное данному выражению, отличается от него знаком перед вторым слагаемым.
Давайте посмотрим, к чему приводит умножение выражения на сопряженное ему выражение. Для примера рассмотрим произведение 
. Его можно заменить разностью квадратов, то есть, 
, откуда дальше можно перейти к выражению a−b, которое не содержит знаков корней.
Теперь становится понятно, как умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю, позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим решения характерных примеров.
Пример.
Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала: а) 
, б) 
.
Решение.
а) Выражение, сопряженное знаменателю, это 
. Умножим на него числитель и знаменатель, что позволит нам освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
б) Для выражения 
сопряженным является 
. Умножая на него числитель и знаменатель, получаем
Можно было сначала вынести знак минус из знаменателя, а уже после этого умножать числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
Ответ:
а) 
, б) 
.
Обратите внимание: при умножении числителя и знаменателя дроби на выражение с переменными, сопряженное знаменателю, нужно позаботиться, чтобы оно не обращалось в нуль ни при каком наборе значений переменных из ОДЗ для исходного выражения.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Решение.
Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной x. Она определяется условиями x≥0 и 
, из которых заключаем, что ОДЗ есть множество x≥0.
Выражение, сопряженное знаменателю, есть 
. Мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби при условии, что 
, которое на ОДЗ равносильно условию x≠16. При этом имеем
А при x=16 имеем 
.
Таким образом, для всех значений переменной x из ОДЗ, кроме x=16, 
, а при x=16 имеем 
.
Ответ:
Использование формул сумма кубов и разность кубов
Из предыдущего пункта мы узнали, что умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю, проводится для того, чтобы в дальнейшем применить формулу разность квадратов и тем самым освободиться от иррациональности в знаменателе. В некоторых случаях для освобождения от иррациональности в знаменателе оказываются полезными и другие формулы сокращенного умножения. Например, формула разность кубов a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+b2) позволяет избавиться от иррациональности, когда в знаменателе дроби находятся выражения с кубическими корнями вида 
или 
, где A и B – некоторые числа или выражения. Для этого числитель и знаменатель дроби умножается на неполный квадрат суммы или на разность соответственно. Аналогично примеряется и формула сумма кубов a3+b3=(a+b)·(a2−a·b+b2).
Пример.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 
, б) 
.
Решение.
а) Несложно догадаться, что в данном случае освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на неполный квадрат суммы чисел 
и 
, так как в дальнейшем это позволит преобразовать выражение в знаменателе по формуле разность кубов:
б) Выражение в знаменателе дроби можно представить в виде 
, из которого хорошо видно, что это неполный квадрат разности чисел 2 и 
. Таким образом, если числитель и знаменатель дроби умножить на сумму 
, то знаменатель можно будет преобразовать по формуле сумма кубов, что позволит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Это возможно сделать при условии 
, которое равносильно условию 
и дальше x≠−8:
А при подстановке x=−8 в исходную дробь имеем 
.
Таким образом, для всех x из ОДЗ для исходной дроби (в данном случае это множество R), кроме x=−8, имеем 
, а при x=8 имеем 
.
Ответ:
Использование различных способов
В примерах посложнее обычно не получается в одно действие освободиться от иррациональности в знаменателе, а приходится последовательно применять метод за методом, в том числе и из разобранных выше. Иногда могут потребоваться и какие-нибудь нестандартные приемы решения. Довольно интересные задания по обсуждаемой теме можно найти в учебнике под авторством Колягина Ю. Н. [3, с. 144, 146, 160]. Например, там разобран пример избавления от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Пример.
Освободитесь от знаков корней в знаменателе дроби 
.
Решение.
Для начала умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 
, которое является сопряженным для выражения в знаменателе и значение которого отлично от нуля:
Остается еще раз воспользоваться этим же способом освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:
Ответ:
.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М. : Просвещение, 2010.- 368 с. : ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.