Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Вынесение за скобки общего множителя, правило, примеры.

Продолжаем изучать тождественные преобразования, в этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя. Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.

Что значит вынести общий множитель за скобки?

Чтобы успешно справляться с вынесением общего множителя за скобки, необходимо хорошо понимать, с какими выражениями проводится это преобразование и что в результате него получается. Разберемся с этим.

Вынесение общего множителя за скобки проводится в суммах, в которых каждое из составляющих из слагаемых представляет собой произведение, причем в каждом из этих произведений присутствует одинаковый множитель. Этот одинаковый множитель и называется общим множителем, и именно он выносится за скобки.

Например, произведения 2·3 и 2·4 имеют общий множитель 2. Тогда в сумме вида 2·3+2·4 можно выполнить вынесение общего множителя за скобки.

Так в чем же заключается вынесение общего множителя за скобки? Оно состоит в представлении исходного выражения в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех изначальных слагаемых, но без общего множителя.

Для пояснения, вернемся к нашему примеру. Выражение 2·3+2·4 после вынесения общего множителя 2 за скобки примет вид 2·(3+4). Полученное выражение 2·(3+4) есть произведение общего множителя 2 и выражения в скобках (3+4), представляющего собой сумму исходных слагаемых 2·3+2·4, но без общего множителя 2.

В основе вынесения общего множителя за скобки лежит известное с начальной школы распределительное свойство умножения относительно сложения, которое задается равенством a·(b+c)=a·b+a·c. Поменяв в этом равенстве местами левую и правую часть, оно примет вид a·b+a·c=a·(b+c), откуда становится видно, что правая его часть равна левой части, в которой вынесен за скобки общий множитель a.

Как выносить за скобки общий множитель?

Рассуждения из предыдущего пункта статьи приводят нас к правилу вынесения за скобки общего множителя: нужно записать произведение общего множителя и скобок, содержащих исходную сумму, но без общего множителя.

Покажем простой пример применения правила вынесения общего множителя за скобки. Возьмем числовое выражение 3·7+3·2−3·5, оно представляет собой сумму трех слагаемых 3·7, 3·2 и −3·5 с общим множителем 3. Правило вынесения за скобки общего множителя указывает нам на то, что нужно записать произведение общего множителя 3 и исходного выражения в скобках, но без общего множителя, имеем 3·(7+2−5). На этом вынесение общего множителя за скобки завершено. Покажем краткую запись решения: 3·7+3·2−3·5=3·(7+2−5).

За скобки могут выноситься не только числа, но и переменные и даже выражения. Например, в выражении 3·x−7·x+2 переменную x можно вынести за скобки: 3·x−7·x+2=x·(3−7)+2. А в выражении (x²+y)·x·y−(x²+y)·x³ общим множителем является выражение (x²+y), после вынесения которого за скобки мы получим выражение (x²+y)·(x·y−x³).

Часто в выражениях общий множитель видно не сразу. Чтобы его увидеть, приходится выполнять предварительное преобразование исходного выражения, заключающееся в замене чисел и выражений тождественно равными им произведениями.

Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2, который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3, а 4 в виде произведения 2·2. Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y). Еще пример: в выражении x³+x²+3·x слагаемые имеют общий множитель x, который становится явно виден после замены x³ на x·x² (при этом мы использовали свойства степени) и x² на x·x. После вынесения его за скобки получим x·(x²+x+3).

Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y. Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y, откуда отчетливо виден общий множитель −1, который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y), в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y). Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.

В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений. Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители.