Внесение множителя под знак корня, правила, примеры, решения
Продолжаем разговор про преобразование иррациональных выражений. В этой статье мы остановимся на преобразовании, которое получило название внесение множителя под знак корня. Сначала разберем суть этого преобразования, после чего перейдем к теоретическим основам. Дальше запишем правила внесения множителя под знак корня. А в заключение рассмотрим решения характерных примеров.
Что называют внесением множителя под знак корня?
Сначала нужно четко представлять, что называют внесением множителя под знак корня. Дадим определение:
Определение.
Внесением множителя под знак корня называют преобразование, при котором произведение вида 
, где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, заменяется выражением вида 
или 
(в зависимости от того, какому из них тождественно равно исходное выражение).
Здесь заметим, что в школе первый разговор про внесение множителя под знак корня начинается после знакомства с квадратным корнем и его свойствами, что обычно происходит на уроках алгебры в 8 классе [1, с. 92-93; 2, с. 72]. При этом приведенное определение стоит рассматривать при n=2, то есть, для квадратных корней. А позже в старших классах вводятся корни n-ой степени, и разбирается внесение множителя уже под знак корня n-ой степени [3, с. 47].
Основываясь на приведенном определении, несложно обосновать, почему рассматриваемое преобразование получило название «внесение множителя под знак корня»: в результате его проведения множитель B оказывается под знаком корня.
Из озвученного определения также понятно, что внесение множителя под знак корня проводится не с любыми выражениями, а с выражениями вполне конкретного вида - с произведениями некоторого числа или выражения и корня, под знаком которого находится некоторое число или выражение. Для наглядности приведем примеры таких выражений: 
, 
, 
и т.п. Выражения, получающиеся в результате этого преобразования, тоже имеют вполне определенный вид. Например, только что указанные выражения после внесения множителя под знак корня принимают вид 
, 
и 
соответственно (естественно, дальше эти выражения можно упростить, если есть такая возможность и в этом есть необходимость).
Теперь, когда мы знаем, что такое внесение множителя под знак корня, можно рассмотреть теорию, которая лежит в основе данного преобразования. Кстати, из нее станет ясно, в каких случаях выражение заменяется на , а в каких – на .
Необходимая теория
В статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней мы получили ряд результатов, два из которых лежат в основе внесения множителя под знак корня. Приведем их здесь:
-
Первый результат.
Выражение A можно заменить выражением
, если n - нечетное. Если же n – четное, то выражение A можно заменить выражением
-
для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A неотрицательно (давайте условимся вместо последней фразы использовать запись A≥0),
-
для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A отрицательно (A<0).
Кратко: если n – нечетное, то
, если n – четное, то 
.
-
-
Второй результат.
Для любого натурального n выражение
можно заменить выражением 
.
Эти результаты позволяют внести множитель под знак корня, так как дают право провести следующие преобразования:
-
если n – нечетное, то
,
-
если же n – четное, то
. В частности, если B – положительное число или значение выражения B неотрицательно для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения, то , а если B – отрицательное число или значения выражения B неположительно для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения, то 
.
Дальше не помешает приведенные рассуждения представить в виде правил, которые уже и применять на практике при внесении множителя под знак корня.
Правила внесения множителя под знак корня
Из информации предыдущего пункта видно, что действия, позволяющие внести множитель под знак корня, зависят от значения показателя корня n, а при нечетных n еще и от вида выражения B. В связи с этим, запишем несколько правил внесения множителя под знак корня, которые покрывают все возможные случаи.
Если показатель корня есть нечетное число, то чтобы внести множитель под знак корня, надо осуществить следующие преобразования .
Если показатель корня n есть четное число и B есть некоторое положительное число или выражение, все значения которого, очевидно, неотрицательные (например, x2, 5·x4+3·y2·z2+7 и т.п.), то внести множитель под знак корня позволяют преобразования такие .
Если показатель корня есть четное число и B есть отрицательное число или выражение, все значения которого, очевидно, неположительные (например, −2·x2, −(x2+y2+1) и т.п.), то внесение множителя под знак корня проводится так .
Наконец, если показатель корня четный и по виду выражения B сразу непонятно, какие значения оно принимает на ОДЗ, то чтобы внести множитель под знак корня, надо
- решить неравенства B≥0 и B<0 на ОДЗ переменных для исходного выражения,
-
дальше на первом полученном множестве решений выполнить преобразования , а на втором – преобразования .
Остается рассмотреть примеры применения записанных правил.
Примеры с решениями
Начнем с примеров внесения множителя под знак корня с нечетным показателем.
Пример.
Внести множитель под знак корня а) 
, б) 
, в) 
.
Решение.
Показатели корня во всех трех примерах нечетные. В этом случае вносимый множитель надо представить в виде корня и от произведения корней перейти к корню произведения. Проделаем описанные действия.
а) 
. Полученное выражение можно упростить, выполнив действия с числами под знаком корня: 
.
б) Здесь не помешает сначала осуществить переход от десятичной дроби к обыкновенной, что впоследствии упростит вычисления, а уже после этого вносить множитель под знак корня:
в) Выполняем нужные преобразования:
Еще можно преобразовать рациональное выражение, образовавшееся под корнем после внесения туда множителя, для придания ему более простого вида:
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Переходим к примерам, в которых требуется внести множитель под знак корня с четным показателем.
Пример.
Внесите множитель под знак корня в выражении и при возможности упростить его вид: а) , б) 
, в) 
.
Решение.
а) Выражение мы приводили в пример в первом пункте этой статьи, сейчас как раз проверим указанный там результат . Здесь корень имеет четный показатель 2, множитель перед корнем есть положительное число 5, поэтому, внести множитель под знак корня позволяют следующие преобразования: 
. Очевидно, мы пришли к нужному результату. Остается лишь упростить его: 
.
б) Здесь тоже показатель корня четный и вносимое под корень число положительное, поэтому проводим следующие преобразования:
в) Очевидно, выражение x2+1, которое мы собираемся внести под знак корня, принимает только положительные значения при любых значениях переменной x (сумма неотрицательного при любом значении переменной x числа x2 и положительного числа 1 есть положительное число), поэтому
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Пример.
Внести множитель под знак корня а) 
, б) 
.
Решение.
а) Здесь показатель корня четный, а множитель, подлежащий внесению под знак корня, имеет отрицательное значение. Поэтому нам нужно действовать по третьему правилу из предыдущего пункта:
б) В этом случае показатель корня тоже четный. Несложно заметить, что выражение 2·(−3−y2) может принимать лишь отрицательные значения (произведение положительного числа 2 и отрицательного при любом значении переменной y числа −3−y2 есть отрицательное число). Поэтому
Ответ:
а) 
, б) 
.
Остается разобраться с внесением под знак корня с четным показателем выражений с переменными, которые могут принимать произвольные значения. Обычно при решении задач общего курса алгебры с этим преобразованием сталкиваться не приходится, необходимость его проведения сразу переводит задачу в ранг повышенной сложности.
Пример.
Внести множитель под знак корня а) , б) 
.
Решение.
а) Это выражение мы также приводили в пример в первом пункте этой статьи. Сейчас мы увидим, как был получен приведенный там результат внесения множителя x−2 под знак корня.
В выражении корень имеет четный показатель 4, а выражение x−2 может принимать различные значения (отрицательные, нуль, положительные). Поэтому, чтобы внести множитель x−2 под знак корня, придется действовать по последнему алгоритму из предыдущего пункта.
ОДЗ переменной x для этого выражения определяется условием 1−x≥0. Чтобы определить при каких значениях переменной из ОДЗ выражение x−2 принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные, составляем и решаем две системы неравенств: 
и 
. Первая система неравенств не имеет решений. Это означает, что выражение x−2 не принимает неотрицательные значения ни при каких значениях x из ОДЗ. А решением второй системы является множество x≤1. Это означает, что выражение x−2 принимает отрицательные значение при любом значении переменной x из множества x≤1 (которое в нашем случае совпадает с ОДЗ). Поэтому
б) В выражении показатель корня четный, а про значения выражения 
сложно сказать что-либо сразу. Поэтому будем выяснить, при каких значениях переменной из ОДЗ указанное выражение принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные. Для этого составляем две системы неравенств 
и 
, и находим их решения (первые неравенства этих систем можно решить методом интервалов, а второе – любым способом решения квадратных неравенств):
Таким образом, при x∈(−∞, −6]∪[4, +∞) выражение принимает неотрицательные значения и
А при x∈(−6, −2]∪[1, 4) выражение принимает отрицательные значения и
При необходимости подкоренное выражение можно преобразовать в рациональную дробь.
Ответ:
а) 
,
б) 
.
Остается сказать, что внесение числа под знак корня часто используется при сравнении значений выражений с корнями.
Также рекомендуем ознакомиться с материалом, который посвящен преобразованию противоположного смысла – вынесению множителя из-под знака корня.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.