Бином Ньютона.
Бином Ньютона - формула.
Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид 
, где 
- биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а "!" – это знак факториала).
К примеру, известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида 
есть частный случай бинома Ньютона при n=2.
Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение 
называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.
Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля.
Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:
Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.
Свойства биномиальных коэффициентов.
Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:
-
коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой
, p=0,1,2,…,n;
-
;
-
сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона:
;
- сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.
Доказательство формулы бинома Ньютона.
Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства 
.
Воспользуемся для доказательства методом математической индукции.
-
Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.
Получили верное равенство.
-
Предположим, что равенство верно для n-1, то есть, что справедливо равенство
.
-
Докажем, что верно равенство
, основываясь на предположении второго пункта.
Поехали!
Раскрываем скобки
Группируем слагаемые
Так как
и 
, то 
; так как 
и 
, то 
; более того, используя свойство сочетаний 
, получим
Подставив эти результаты в полученное выше равенство
придем к формуле бинома Ньютона
.
Этим доказана формула бинома Ньютона.
Бином Ньютона - применение при решении примеров и задач.
Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.
Пример.
Напишите разложение выражения (a+b)5 по формуле бинома Ньютона.
Решение.
Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Таким образом, имеем 
.
Пример.
Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения 
.
Решение.
В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы можем вычислить требуемый биномиальный коэффициент:
В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.
Пример.
Доказать, что значение выражения 
, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.
Решение.
Представим первое слагаемое выражение как 
и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.