Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Бином Ньютона.



Бином Ньютона - формула.

Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид формула бинома Ньютона, где формула - биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а "!" – это знак факториала).

К примеру, известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида формула есть частный случай бинома Ньютона при n=2.

Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение формула называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.


Треугольник Паскаля.

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
формула

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:

треугольник Паскаля

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов.

Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

Доказательство формулы бинома Ньютона.

Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства формула.

Воспользуемся для доказательства методом математической индукции.

  1. Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.
    формула

    Получили верное равенство.

  2. Предположим, что равенство верно для n-1, то есть, что справедливо равенство формула.

  3. Докажем, что верно равенство формула, основываясь на предположении второго пункта.

    Поехали!
    формула

    Раскрываем скобки
    формула

    Группируем слагаемые
    формула

    Так как формула и формула, то формула; так как формула и формула, то формула; более того, используя свойство сочетаний формула, получим
    формула

    Подставив эти результаты в полученное выше равенство
    формула
    придем к формуле бинома Ньютона формула.

Этим доказана формула бинома Ньютона.

Бином Ньютона - применение при решении примеров и задач.

Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.

Пример.

Напишите разложение выражения (a+b)5 по формуле бинома Ньютона.

Решение.

Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Таким образом, имеем формула.

Пример.

Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения формула.

Решение.

В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы можем вычислить требуемый биномиальный коэффициент:
формула

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример.

Доказать, что значение выражения формула, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение.

Представим первое слагаемое выражение как формула и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
формула

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+