Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры.


В этой статье мы разберем два действия с многочленамисложение и вычитание многочленов. Сначала мы запишем правило, которое позволяет складывать и вычитать многочлены. После этого перейдем к решению примеров.


Правило сложения и вычитания многочленов

Сразу сформулируем правило сложения и вычитания многочленов, после чего дадим необходимые пояснения.

Чтобы выполнить сложение и вычитание многочленов, нужно

Разберем каждый пункт записанного правила.

Что касается составления суммы и разности многочленов, то для этого нужно записать исходные многочлены в скобках и поставить между ними знак плюс или минус соответственно. Например, сумма двух многочленов x3+4·x·y+5 и 2−3·x·y запишется как (x3+4·x·y+5)+(2−3·x·y), а их разность имеет вид (x3+4·x·y+5)−(2−3·x·y).

Следующим пунктом правила сложения и вычитания многочленов является раскрытие скобок. Для этого применяется правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, и правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. В наших примерах сумма многочленов (x3+4·x·y+5)+(2−3·x·y) после раскрытия скобок примет вид x3+4·x·y+5+2−3·x·y, а их разность (x3+4·x·y+5)−(2−3·x·y) - вид x3+4·x·y+5−2+3·x·y. На этом этапе отчетливо видно, что в результате проделанных действий мы получили многочлен.

На последнем шаге полученный многочлен приводится к стандартному виду. В наших примерах имеем x3+4·x·y+5+2−3·x·y=x3+x·y+7 и x3+4·x·y+5−2+3·x·y=x3+7·x·y+3.

Итак, мы полностью разобрали все шаги приведенного выше правила. Более того, мы пришли к очень важному выводу – в результате сложения и вычитания многочленов получается многочлен.

Примеры сложения и вычитания многочленов


Теперь можно переходить к решению примеров. Рассмотрим самые характерные случаи.

Пример.

Выполните сложение и вычитание многочленов x2+5·x+1 и x2−5·x+3.

Решение.

Сначала выполним сложение. Для этого составляем сумму многочленов: (x2+5·x+1)+(x2−5·x+3). После раскрытия скобок эта сумма примет вид x2+5·x+1+x2−5·x+3. Для приведения полученного многочлена к стандартному виду нужно выполнить приведение подобных членов, что дает нам итоговый результат 2·x2+4.

Покажем, как можно оформить краткое решение, отвечающее сложению многочленов:
(x2+5·x+1)+(x2−5·x+3)=x2+5·x+1+x2−5·x+3=(x2+x2)+(5·x−5·x)+(1+3)=2·x2+4.

Осталось провести вычитание многочленов:
(x2+5·x+1)−(x2−5·x+3)=x2+5·x+1−x2+5·x−3=(x2−x2)+(5·x+5·x)+(1−3)=10·x−2.

Ответ:

(x2+5·x+1)+(x2−5·x+3)=2·x2+4 и (x2+5·x+1)−(x2−5·x+3)=10·x−2.

Так как одночлены являются частными случаями многочленов, то правило сложения и вычитания многочленов из предыдущего пункта можно применять при сложении и вычитании одночленов, при сложении одночлена и многочлена, а также при вычитании одночлена из многочлена и наоборот.

Пример.

Найдите разность одночлена 15·a·b2 и многочлена b4+b3+11·a·b2−7.

Решение.

Запишем эту разность (15·a·b2)−(b4+b3+11·a·b2−7). После раскрытия скобок записанная разность примет вид 15·a·b2−b4−b3−11·a·b2+7, а приведение подобных членов приводит нас к многочлену стандартного вида 4·a·b2−b4−b3+7, который и является искомым результатом вычитания многочлена из одночлена.

Ответ:

(15·a·b2)−(b4+b3+11·a·b2−7)=4·a·b2−b4−b3+7.

Заметим, что если нам нужно провести сложение и вычитание многочленов, заданных не в стандартном виде, то эти действия можно выполнять как с многочленами в исходном виде, так и после их приведения к стандартному виду. На результат это не повлияет.

Пример.

Каков результат сложения многочлена 1+3·a·2+4 и многочлена a2−2·a+2·a2+6?

Решение.

Очевидно, исходные многочлены записаны не в стандартном виде. Сложим их:
(1+3·a·2+4)+(a2−2·a+2·a2+6)=1+3·a·2+4+a2−2·a+2·a2+6=1+6·a+4+a2−2·a+2·a2+6=(1+4+6)+(6·a−2·a)+(a2+2·a2)=11+4·a+3·a2.

А теперь давайте сначала приведем исходные многочлены к стандартному виду: 1+3·a·2+4=1+6·a+4=(1+4)+6·a=5+6·a и a2−2·a+2·a2+6=(a2+2·a2)−2·a+6=3·a2−2·a+6. А теперь выполним сложение полученных многочленов стандартного вида:
(5+6·a)+(3·a2−2·a+6)=5+6·a+3·a2−2·a+6=(5+6)+(6·a−2·a)+3·a2=11+4·a+3·a2.

Очевидно, мы получили одинаковые результаты. (В других примерах может оказаться, что члены полученных многочленов будут отличаться порядком следования).

Ответ:

(1+3·a·2+4)+(a2−2·a+2·a2+6)=11+4·a+3·a2.

Абсолютно аналогично выполняется сложение и вычитание трех, четырех и большего количества многочленов.

Пример.

Выполните сложение многочленов 5·a·b−a·b2, 3·a·b2 и 2·a·b2−a·b+b.

Решение.

Делаем все по правилу сложения многочленов: записываем сумму, раскрываем скобки и приводим полученный многочлен к стандартному виду.
(5·a·b−a·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2−a·b+b)=5·a·b−a·b2+3·a·b2+2·a·b2−a·b+b=4·a·b+4·a·b2+b.

Ответ:

(5·a·b−a·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2−a·b+b)=4·a·b+4·a·b2+b.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+