Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Сложение и вычитание одночленов: правило, примеры


После знакомства с определением одночлена и связанными с ним определениями, логично узнать, как выполняются действия с одночленами. И начать стоит со сложения и вычитания.

В этой статье мы подробно поговорим про сложение и вычитание одночленов. Здесь мы разберемся, всегда ли эти действия выполнимы, что они дают в результате, запишем правило (алгоритм) сложения и вычитания одночленов, а также рассмотрим решения характерных примеров.


Каков результат сложения и вычитания одночленов?

Сложение и вычитание одночленов лучше рассматривать в контексте действий с многочленами. Связано это с тем, что в общем случае результатом сложения и вычитания двух одночленов является многочлен, и лишь в частных случаях – одночлен.

Другими словами, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Поясним, что это значит.

Для этого проведем параллель с вычитанием натуральных чисел. Вспомните, на множестве натуральных чисел действие вычитание мы тоже вводили с ограничением, не так ли? Там мы говорили, что можно вычитать лишь из большего натурального числа меньшее. В противном случае результатом вычитания уже будет не натуральное число. А на множестве целых чисел, которое включает себя все натуральные числа, вычитание уже вводится полноценно, без ограничений.

Аналогично обстоит дело и со сложением и вычитанием двух одночленов. На множестве одночленов сложение и вычитание можно ввести лишь со следующими ограничениями: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (в этих случаях их называют подобными одночленами), или же один из них должен быть нулем. В остальных случаях результатом выполнения этих действий уже будет не одночлен.

В свою очередь на множестве многочленов, которое включает в себя все одночлены, сложение и вычитание одночленов рассматривается как частный случай сложения и вычитания многочленов. Эти действия уже можно рассматривать без введенных выше ограничений, так как результат их выполнения дает многочлен (или одночлен, который является частным случаем многочлена).

Правило


Переходим к конкретике. Запишем правило сложения и вычитания двух одночленов, представим его в виде алгоритма:

Осталось рассмотреть примеры применения озвученного правила сложения и вычитания одночленов.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Начнем с простого примера.

Пример.

Выполните сложение и вычитание двух одночленов 5·x и −3·x.

Решение.

Будем последовательны. Сначала разберемся со сложением.

Согласно правилу сложения одночленов, во-первых, нам нужно составить сумму. Для этого берем исходные одночлены в скобки и ставим между ними знак плюс: (5·x)+(−3·x). Одночлены в скобках записаны в стандартном виде, поэтому второй шаг пропускаем. В-третьих, в составленной сумме нам нужно раскрыть скобки, после чего имеем выражение 5·x−3·x. Остается лишь привести подобные слагаемые: 5·x−3·x=(5−3)·x=2·x.

Итак, сложение одночленов 5·x и −3·x в результате дает одночлен 2·x. Обычно решение оформляют кратко: (5·x)+(−3·x)=5·x−3·x=2·x.

По такому же принципу выполняется и вычитание одночленов: (5·x)−(−3·x)=5·x+3·x=8·x.

Ответ:

(5·x)+(−3·x)=2·x и (5·x)−(−3·x)=8·x.

Теперь разберем решение примера, в котором один из одночленов есть нуль.

Пример.

Выполните вычитание из одночлена одночлена .

Решение.

Составляем разность: . После приведения к стандартному виду одночленов в скобках, составленная разность примет вид . Раскрытие скобок дает выражение , которое в силу свойства прибавления нуля тождественно равно .

Итак, .

Ответ:

.

В рассмотренных выше примерах в результате сложения и вычитания двух одночленов получались одночлены. Но, как мы уже сказали, результатом выполнения этих действий в общем случае является многочлен.

Пример.

Выполните сложение одночленов −10·x·z3 и −2·x·y·z.

Решение.

Составляем сумму одночленов: (−10·x·z3)+(−2·x·y·z). Одночлены в скобках записаны в стандартном виде, поэтому переходим к раскрытию скобок: (−10·x·z3)+(−2·x·y·z)=−10·x·z3−2·x·y·z. В полученном выражении одночлены не являются подобными, поэтому больше с ним ничего делать не нужно. Так в результате сложения одночленов мы получили многочлен −10·x·z3−2·x·y·z.

Ответ:

(−10·x·z3)+(−2·x·y·z)=−10·x·z3−2·x·y·z.

Аналогично выполняется сложение и вычитание трех, четырех, и вообще, любого конечного числа одночленов.

Пример.

Выполните указанные действия с одночленами 0,2·a3·b2+7·a3·b23·a3·b2−2,7·a3·b2.

Решение.

Все одночлены в исходном выражении записаны в стандартном виде и являются подобными. Нам остается лишь привести подобные члены, для чего выполняем сложение и вычитание коэффициентов, а буквенную часть оставляем без изменения:
0,2·a3·b2+7·a3·b23·a3·b2−2,7·a3·b2=(0,2+7−3−2,7)·a3·b2=1,5·a3·b2.

Ответ:

0,2·a3·b2+7·a3·b23·a3·b2−2,7·a3·b2=1,5·a3·b2.

Пример.

Сложите одночлены 5, −3·a, 15·a, −0,5·x·z4, −12·a, −2 и 0,5·x·z4.

Решение.

Начнем с составления суммы (5)+(−3·a)+(15·a)+(−0,5·x·z4)+(−12·a)+(−2)+(0,5·x·z4). Раскроем скобки, в результате имеем 5−3·a+15·a−0,5·x·z412·a−2+0,5·x·z4. В полученном выражении есть подобные слагаемые, для наглядности сгруппируем их: (5−2)+(−3·a+15·a−12·a)+(−0,5·x·z4+0,5·x·z4). После приведения подобных слагаемых приходим к выражению 3+0+0=3.

Таким образом, в результате сложения исходных одночленов мы получаем одночлен 3.

Ответ:

(5)+(−3·a)+(15·a)+(−0,5·x·z4)+(−12·a)+(−2)+(0,5·x·z4)=3.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+