Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры.
Приступим к подробному изучению действий с алгебраическими дробями. В этой статье мы детально разберем сложение и вычитание алгебраических дробей. Начнем со сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. После этого запишем соответствующее правило для дробей с разными знаменателями. В заключение покажем, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как выполнить их вычитание. Всю информацию по традиции снабдим характерными примерами с разъяснением каждого шага процесса решения.
Когда знаменатели одинаковые
Принципы сложения обыкновенных дробей переносятся и на алгебраические дроби. Нам известно, что при сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются или вычитаются их числители, а знаменатель остается прежним. Например, 
и 
.
Аналогично формулируется и правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители дробей, а знаменатель оставить без изменения.
Из этого правила следует, что в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается новая алгебраическая дробь (в частном случае многочлен, одночлен или число).
Приведем пример применения озвученного правила.
Пример.
Найдите сумму алгебраических дробей 
и 
.
Решение.
Нам нужно сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями. Правило нам указывает, что надо выполнить сложение числителей этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Итак, складываем многочлены, находящиеся в числителях: x2+2·x·y−5+3−x·y=
.
На практике обычно решение записывается кратко в виде цепочки равенств, отражающих все выполняемые действия. В нашем случае краткая запись решения такова:
Ответ:
.
Заметим, что если в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается сократимая дробь, то ее желательно сократить.
Пример.
Выполните вычитание из алгебраической дроби 
дроби 
.
Решение.
Так как знаменатели алгебраических дробей равны, то нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним: 
.
Несложно заметить, что можно выполнить сокращение алгебраической дроби. Для этого преобразуем ее знаменатель, применив формулу разности квадратов. Имеем 
.
Ответ:
.
Абсолютно аналогично складываются или вычитаются три и большее количество алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Например, 
.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
Напомним, как мы выполняем сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводим их к общему знаменателю, после чего складываем эти дроби с одинаковыми знаменателями. Например, 
или 
.
Существует аналогичное правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:
- сначала все дроби приводятся к общему знаменателю;
- после чего выполняется сложение и вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Для успешного применения озвученного правила, нужно хорошо разобраться с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю. Этим и займемся.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю представляет собой тождественное преобразование исходных дробей, после которого знаменатели всех дробей становятся одинаковыми. Удобно использовать следующий алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
- сначала находится общий знаменатель алгебраических дробей;
- дальше определяются дополнительные множители для каждой из дробей, для чего общий знаменатель делится на знаменатели исходных дробей;
- наконец, числители и знаменатели исходных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.
Пример.
Приведите алгебраические дроби 
и 
к общему знаменателю.
Решение.
Сначала определим общий знаменатель алгебраических дробей. Для этого раскладываем знаменатели всех дробей на множители: 2·a3−4·a2=2·a2·(a−2), 3·a2−6·a=3·a·(a−2) и 4·a5−16·a3=4·a3·(a−2)·(a+2). Отсюда находим общий знаменатель 12·a3·(a−2)·(a+2).
Теперь приступаем к нахождению дополнительных множителей. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель первой дроби (удобно взять его разложение), имеем 12·a3·(a−2)·(a+2):(2·a2·(a−2))=6·a·(a+2). Таким образом, дополнительный множитель для первой дроби равен 6·a·(a+2). Аналогично находим дополнительные множители для второй и третьей дробей: 12·a3·(a−2)·(a+2):(3·a·(a−2))=4·a2·(a+2) и 12·a3·(a−2)·(a+2):(4·a3·(a−2)·(a+2))=3.
Осталось умножить числители и знаменатели исходных дробей на соответствующие дополнительные множители:
На этом приведение исходных алгебраических дробей к общему знаменателю завершено. При необходимости полученные дроби можно преобразовать к виду алгебраических дробей, выполнив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.
Итак, с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю разобрались. Теперь мы подготовлены к выполнению сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Да, чуть не забыли предупредить: общий знаменатель до самого последнего момента удобно оставлять представленным в виде произведения – возможно придется сокращать дробь, которая получится после сложения или вычитания.
Пример.
Выполните сложение алгебраических дробей 
и 
.
Решение.
Очевидно, исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому, чтобы выполнить их сложение, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Для этого раскладываем знаменатели на множители: x2+x=x·(x+1), а x2+3·x+2=(x+1)·(x+2), так как корнями квадратного трехчлена x2+3·x+2 являются числа −1 и −2. Отсюда находим общий знаменатель, он имеет вид x·(x+1)·(x+2). Тогда дополнительным множителем первой дроби будет x+2, а второй дроби – x.
Итак, 
и 
.
Осталось сложить дроби, приведенные к общему знаменателю:
Полученную дробь можно сократить. Действительно, если в числителе вынести двойку за скобки, то станет виден общий множитель x+1, на который дробь и сокращается: 
.
Наконец, полученную дробь представляем в виде алгебраической, для чего произведение в знаменателе заменяем многочленом: 
.
Оформим краткое решение, учитывающее все наши рассуждения:
Ответ:
.
И еще один момент: алгебраические дроби перед их сложением или вычитанием целесообразно предварительно преобразовать, чтобы упростить, (если, конечно, есть такая возможность).
Пример.
Выполните вычитание алгебраических дробей 
и 
.
Решение.
Выполним некоторые преобразования алгебраических дробей, возможно, они позволят упростить процесс решения. Для начала вынесем за скобки числовые коэффициенты у переменных в знаменателе: 
и 
. Уже интересно – стал виден общий множитель знаменателей дробей.
Теперь избавимся от числового коэффициента в знаменателях. На базе основного свойства алгебраической дроби числитель и знаменатель первой из полученных дробей можно умножить на 3/4, а второй – на −1/2, имеем 
и 
.
И наконец, избавимся от дробных коэффициентов, для чего числитель и знаменатель полученных дробей умножим на 14, получаем 
и 
.
А теперь можно вернуться к изначальному заданию и выполнить вычитание алгебраических дробей: 
.
Ответ:
.
Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена
К сложению и вычитанию алгебраических дробей можно свести сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена. Для этого многочлен достаточно представить в виде дроби со знаменателем 1 (с подобным преобразованием мы уже сталкивались, когда представляли натуральное число в виде дроби со знаменателем 1).
Пример.
Сложите многочлен x2−3 с алгебраической дробью 
.
Решение.
Сначала представим многочлен x2−3 в виде алгебраической дроби со знаменателем 1 как 
. После этого осталось выполнить сложение алгебраических дробей по известному правилу:
Ответ:
.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.