Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Схема Горнера.


Для вычисления коэффициентов частного и остатка от деления многочлена формула на линейный двучлен x-s очень удобно использовать схему Горнера (иногда называют метод Горнера).

Заполняется таблица:
формула

Полученные числа формула являются коэффициентами частного от деления многочлена формула на двучлен x-s, а формула - остатком. То есть,
формула


Пример.

Найти частное и остаток от деления многочлена формула на линейный двучлен х-1.

Решение.

В нашем примере s = 1, коэффициенты формула.

Воспользуемся схемой Горнера:
формула

Таким образом, формула - частное, формула - остаток от деления.

В следующем примере не будем давать такие подробные пояснения.

Пример.

Убедиться, что многочлен формула делится на двучлен формула без остатка и найти частное.

Решение.

Проверим это с использованием схемы Горнера:
формула

Получили остаток равный нулю, что говорит о делимости исходного многочлена без остатка на двучлен. Частным является многочлен формула


Когда формула, то можно говорить о делимости многочлена формула на двучлен x-s, другими словами, s – корень исходного многочлена. По следствию из теоремы Безу, такой многочлен представляется в виде произведения:
формула

Поэтому, схему Горнера удобно применять для отыскания целых корней приведенных уравнений высших степеней с целыми коэффициентами и для разложения многочленов на множители.

Пример.

Найти корни уравнения формула и разложить многочлен в левой части уравнения на множители.

Решение.

Если это уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем эти делители 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.

Проверим их по схеме Горнера.
формула

То есть, х=1 корнем не является.

Продолжаем схему Горнера.
формула

То есть, х=-1 является корнем, и исходный многочлен представится в виде формула

Продолжим проверку делителей, начиная с х=-1 (так как корни могут повторяться), но в схеме Горнера коэффициентами будем считать значения последней полученной строки:
формула

То есть, х=-1 не является повторяющимся (кратным) корнем. Проверяем следующий делитель:
формула

То есть, х=2 не является корнем. Продолжаем схему Горнера для х=-2:
формула

То есть, х=-2 является корнем уравнения, многочлен представляется в виде
формула

Таким образом, получили требуемое разложение. Из него видно, что последним третьим корнем является х=3. Завершим таблицу, в качестве коэффициентов будем использовать уже значения последней полученной строки:
формула

Вывод: последняя таблица, заполненная по схеме Горнера, по сути, является решением рассмотренного примера.

Конечно, можно было схему Горнера заменить делением многочлена на линейный двучлен столбиком. Но о вкусах, как известно, не спорят.

Ответ:

х=-1, х=-2, х=3, формула.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+