Теорема Виета, формулы Виета
Между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, помимо формул корней, существуют другие полезные соотношения, которые задаются теоремой Виета. В этой статье мы дадим формулировку и доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения. Дальше рассмотрим теорему, обратную теореме Виета. После этого разберем решения наиболее характерных примеров. Наконец, запишем формулы Виета, задающие связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.
Теорема Виета, формулировка, доказательство
Из формул корней квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0 вида , где D=b2−4·a·c, вытекают соотношения x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a. Эти результаты утверждаются теоремой Виета:
Теорема.
Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a, то есть, 
.
Доказательство.
Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: составим сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя известные формулы корней, после этого преобразуем полученные выражения, и убедимся, что они равны −b/a и c/a соответственно.
Начнем с суммы корней, составляем ее . Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем . В числителе полученной дроби раскрываем скобки, после чего приводим подобные слагаемые: . Наконец, после сокращения дроби на 2, получаем . Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Переходим ко второму.
Составляем произведение корней квадратного уравнения: . Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как . Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов, так . Дальше, вспомнив определение квадратного корня, выполняем следующий переход . А так как дискриминанту квадратного уравнения отвечает формула D=b2−4·a·c, то в последнюю дробь вместо D можно подставить b2−4·a·c, получаем . После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приходим к дроби , а ее сокращение на 4·a дает . Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид:
,
.
Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен , тогда и , а так как D=0, то есть, b2−4·a·c=0, откуда b2=4·a·c, то .
На практике наиболее часто теорема Виета используется применительно к приведенному квадратному уравнению (со старшим коэффициентом a, равным 1) вида x2+p·x+q=0. Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением, выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a. Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:
Теорема.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x1+x2=−p, x1·x2=q.
Теорема, обратная теореме Виета
Вторая формулировка теоремы Виета, приведенная в предыдущем пункте, указывает, что если x1 и x2 корни приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0, то справедливы соотношения x1+x2=−p, x1·x2=q. С другой стороны, из записанных соотношений x1+x2=−p, x1·x2=q следует, что x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее.
Теорема.
Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0.
Доказательство.
После замены в уравнении x2+p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x1 и x2, оно преобразуется в равносильное уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0.
Подставим в полученное уравнение вместо x число x1, имеем равенство x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=0, которое при любых x1 и x2 представляет собой верное числовое равенство 0=0, так как x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=
Если же в уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0 подставить вместо x число x2, то получим равенство x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это верное равенство, так как x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=
На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.
Примеры использования теоремы Виета
Пришло время поговорить о практическом применении теоремы Виета и обратной ей теоремы. В этом пункте мы разберем решения нескольких наиболее характерных примеров.
Начнем с применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее удобно применять для проверки, являются ли данные два числа корнями заданного квадратного уравнения. При этом вычисляется их сумма и разность, после чего проверяется справедливость соотношений . Если выполняются оба этих соотношения, то в силу теоремы, обратной теореме Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения. Если же хотя бы одно из соотношений не выполняется, то данные числа не являются корнями квадратного уравнения. Такой подход можно использовать при решении квадратных уравнений для проверки найденных корней.
Пример.
Какая из пар чисел 1) x1=−5, x2=3, или 2) , или 3) является парой корней квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0?
Решение.
Коэффициентами заданного квадратного уравнения 4·x2−16·x+9=0 являются a=4, b=−16, c=9. Согласно теореме Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна −b/a, то есть, 16/4=4, а произведение корней должно быть равно c/a, то есть, 9/4.
Теперь вычислим сумму и произведение чисел в каждой из трех заданных пар, и сравним их с только что полученными значениями.
В первом случае имеем x1+x2=−5+3=−2. Полученное значение отлично от 4, поэтому дальнейшую проверку можно не осуществлять, а по теореме, обратной теореме Виета, сразу сделать вывод, что первая пара чисел не является парой корней заданного квадратного уравнения.
Переходим ко второму случаю. Здесь , то есть, первое условие выполнено. Проверяем второе условие: , полученное значение отлично от 9/4. Следовательно, и вторая пара чисел не является парой корней квадратного уравнения.
Остался последний случай. Здесь и . Оба условия выполнены, поэтому эти числа x1 и x2 являются корнями заданного квадратного уравнения.
Ответ:
.
Теорему, обратную теореме Виета, на практике можно использовать для подбора корней квадратного уравнения. Обычно подбирают целые корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, так как в других случаях это сделать достаточно сложно. При этом пользуются тем фактом, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. Разберемся с этим на примере.
Возьмем квадратное уравнение x2−5·x+6=0. Чтобы числа x1 и x2 были корнями этого уравнения, должны выполняться два равенства x1+x2=5 и x1·x2=6. Остается подобрать такие числа. В данном случае это сделать достаточно просто: такими числами являются 2 и 3, так как 2+3=5 и 2·3=6. Таким образом, 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.
Теорему, обратную теореме Виета, особенно удобно применять для нахождения второго корня приведенного квадратного уравнения, когда уже известен или очевиден один из корней. В этом случае второй корень находится из любого из соотношений .
Для примера возьмем квадратное уравнение 512·x2−509·x−3=0. Здесь легко заметить, что единица является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Итак, x1=1. Второй корень x2 можно найти, например, из соотношения x1·x2=c/a. Имеем 1·x2=−3/512, откуда x2=−3/512. Так мы определили оба корня квадратного уравнения: 1 и −3/512.
Понятно, что подбор корней целесообразен лишь в самых простых случаях. В остальных случаях для поиска корней можно применить формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.
Еще одно практическое применение теоремы, обратной теореме Виета, состоит в составлении квадратных уравнений по заданным корням x1 и x2. Для этого достаточно вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.
Пример.
Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23.
Решение.
Обозначим x1=−11 и x2=23. Вычисляем сумму и произведение данных чисел: x1+x2=12 и x1·x2=−253. Следовательно, указанные числа являются корнями приведенного квадратного уравнения со вторым коэффициентом −12 и свободным членом −253. То есть, x2−12·x−253=0 – искомое уравнение.
Ответ:
x2−12·x−253=0.
Теорема Виета очень часто используется при решении заданий, связанных со знаками корней квадратных уравнений. Как же связана теорема Виета со знаками корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0? Приведем два соответствующих утверждения:
- Если свободный член q – положительное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то либо они оба положительные, либо оба отрицательные.
- Если же свободный член q – отрицательное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их знаки различны, другими словами, один корень положительный, а другой - отрицательный.
Эти утверждения вытекают из формулы x1·x2=q, а также правил умножения положительных, отрицательных чисел и чисел с разными знаками. Рассмотрим примеры их применения.
Пример.
Положительны ли оба корня квадратного уравнения x2−64·x−21=0?
Решение.
Если данное квадратное уравнение имеет два корня, то они не могут быть оба положительными, так как по теореме Виета для них должно выполняться равенство x1·x2=−21, которое невозможно при положительных x1 и x2.
Ответ:
нет.
Пример.
При каких значениях параметра r квадратное уравнение x2+(r+2)·x+r−1=0 имеет два действительных корня, имеющих разные знаки.
Решение.
Сначала определим, при каких r это уравнение имеет два корня. Для этого найдем дискриминант, и выясним, при каких r он положителен. По формуле дискриминанта находим D=(r+2)2−4·1·(r−1)=
Теперь выясним, когда корни имеют разные знаки. Если знаки корней различны, то их произведение отрицательно, а по теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Следовательно, нас интересуют те значения r, при которых свободный член r−1 отрицателен. Таким образом, чтобы найти интересующие нас значения r, надо решить линейное неравенство r−1<0, откуда находим r<1.
Ответ:
при r<1.
Формулы Виета
Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n. Их называют формулами Виета.
Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n вида , при этом будем считать, что оно имеет n действительных корней x1, x2, …, xn (среди них могут быть совпадающие):
Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители, а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета.
В частности при n=2 имеем уже знакомые нам формулы Виета для квадратного уравнения .
Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид
Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.