Преобразование логарифмических уравнений

Когда проведение преобразований необходимо
Цели преобразования логарифмических уравнений
Какие преобразования используются
Основные направления проведения преобразований
Перед преобразованием логарифмического уравнения стоит найти ОДЗ
Преобразование логарифмических уравнений на базе свойств логарифмов
Не забываем про модули
Аккуратнее со степенями

Когда проведение преобразований необходимо

Когда заданное логарифмическое уравнение отвечает условиям применимости одного из методов решения логарифмических уравнений, мы просто берем и решаем это уравнение соответствующим методом. А если уравнение не отвечает условиям применимости ни одного метода, то необходимо изучать возможности проведения преобразований.

К началу страницы

Цели преобразования логарифмических уравнений

Можно выделить две главные цели преобразования логарифмических уравнений:

Первая – избавиться от логарифмов. Например, от решения логарифмического уравнения log₃3^3·x+5+5^{log₅(7·x−5)}=x² путем проведения преобразований можно перейти к решению рационального уравнения 10·x=x².
Вторая – получить возможность воспользоваться каким-либо методом решения. Например, преобразование логарифмического уравнения log₂x+log_x4=3 к виду открывает возможность использования метода введения новой переменной.

К началу страницы

Какие преобразования используются

Вообще, для решения логарифмических уравнений используются практически все изученные преобразования уравнений. Это, конечно же, и перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположными знаками, и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число и другие. Эти преобразования широко используются при решении уравнений разных видов, в том числе и логарифмических. Ничего нового в преобразовании логарифмических уравнений с их помощью нет, поэтому не будем долго на них задерживаться, приведем лишь пару примеров и пойдем дальше.

Первый пример. Пусть дано логарифмическое уравнение log₃(x+1)−2=0. Для его решения можно перенести слагаемое −2 в правую часть уравнения с противоположным знаком, то есть, перейти к уравнению log₃(x+1)=2, после чего воспользоваться методом решения по определению логарифма.

Еще один пример. Допустим, нужно решить логарифмическое уравнение 2·lgx−lgx=3·lg(2·x−1)−2·lg(2·x−1). Здесь очевидна возможность приведения подобных слагаемых. В результате выполнения этого действия приходим к уравнению lgx=lg(2·x−1), которое можно решать методом потенцирования.

Самыми характерными для логарифмических уравнений являются преобразования, проводимые на базе определения логарифма и свойств логарифмов. А так как логарифмы очень тесно связаны со степенями, то не менее характерными являются и преобразования, проводимые с опорой на свойства степеней. О них речь пойдет чуть ниже.

К началу страницы

Основные направления проведения преобразований

Иногда, набор возможных преобразований для заданного логарифмического уравнения весьма ограничен. Например, для уравнения log₃x+log₃(x+2)=1 просматривается одно единственное преобразование – замена суммы логарифмов логарифмом произведения (есть, конечно, и другие преобразования, но здесь они будут больше надуманными). В таких случаях все просто – проводится преобразование логарифмического уравнения (если это вообще требуется) и решается полученное уравнение подходящим методом. А как быть, когда возможностей для проведения преобразований сравнительно много, как, например, для логарифмического уравнения ? Так встает вопрос о направлениях проведения преобразований.

Можно выделить два основных направления преобразования логарифмических уравнений:

к одинаковым логарифмам, например, от уравнения к , и дальше к log₃x=1.
если не к одинаковым логарифмам, то хотя бы к логарифмам с одинаковыми основаниями, например, от логарифмического уравнения к , и дальше к .

Почти всегда движение в этих направлениях позволяет подвести заданное логарифмическое уравнение под условия применимости какого-либо метода решения.

К началу страницы

Перед преобразованием логарифмического уравнения стоит найти ОДЗ

Как известно, при преобразовании любых выражений с переменными необходимо учитывать ОДЗ. Значит, преобразование логарифмических уравнений тоже требует учета ОДЗ. Поэтому, перед тем, как преобразовать логарифмическое уравнение, стоит найти ОДЗ для него, или, по крайней мере, записать условия, определяющие ОДЗ, если их достаточно.

К началу страницы

Преобразование логарифмических уравнений на базе свойств логарифмов

Характерными для логарифмических уравнений являются преобразования на базе свойств логарифмов. Поэтому, есть смысл детально и на примерах разобрать, как проводитя преобразование логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов.

Основное логарифмическое тождество , a>0, a≠1, b>0.

Как правило, при преобразовании логарифмических уравнений записанная формула применяется слева направо. Например, с опорой на основное логарифмическое тождество можно перейти от решения логарифмического уравнения 4^{log₄(2·x+1)}=3 к решению сравнительно простого уравнения 2·x+1=3, естественно, оставаясь в рамках ОДЗ для исходного уравнения.

Заметим, что одинаковые основание степени и основание логарифма часто бывают скрыты за обыкновенными и десятичными дробями, например, .
Логарифм единицы , a>0, a≠1.

Мы знаем, что логарифм единицы по любому положительному и отличному от единицы основанию есть нуль. Это позволяет упрощать вид уравнений, в которых присутствуют логарифмы единицы. Например, логарифмическое уравнение log₈(x²−3)+log_x1=1 можно преобразовать к виду log₈(x²−3)=1. При этом необходимо помнить про ОДЗ для исходного уравнения, так как при подобном преобразовании может расшириться ОДЗ, и, как следствие, могут появиться корни, посторонние для исходного уравнения.
Формула , a>0, a≠1.

Базируясь на этой формуле, например, можно осуществить преобразование логарифмического уравнения log₂x+log_x−3(x−3)=4 к виду log₂x+1=4. Подобные переходы часто провоцируют расширение ОДЗ, поэтому, необходимо учитывать ОДЗ для исходного уравнения.

Нередки случаи применения этой формулы справа налево. Приведем пример. В логарифмическом уравнении log_x(x·(x+5))=1+log_x(4·x−1) единицу можно представить как логарифм log_xx, чтобы дальше перейти к уравнению log_x(x·(x+5))=log_x(x·(4·x−1)) и воспользоваться методом потенцирования.
Логарифм степени основания , a>0, a≠1.

Логарифмическое уравнение log₃3^x+2+log₂2^8−2·x=16 на ОДЗ для него с опорой на формулу логарифма степени основания сводится к уравнению x+2+8−2·x=16.

А вот пример использования этой формулы справа налево: от уравнения log₃(1+3^x)+x=log₃2 переходим к log₃(1+3^x)+log₃3^x=log₃2, чтобы дальше перейти к уравнению log₃((1+3^x)·3^x)=log₃2, которое путем потенцирования сводится к показательному уравнению (1+3^x)·3^x=2.
Логарифм произведения и логарифм частного , a>0, a≠1, x>0, y>0.

Формулы логарифма произведения и частного при преобразовании логарифмических уравнений используются преимущественно справа налево. То есть, обычно суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями заменяются логарифмом произведения и частного. Так, например, логарифмическое уравнение log₇(x+1)−log₇(7−x)+log₇(x+2)=0 приводится к виду , а уравнение - к виду .

Что касается обратных переходов, то есть, переходов от логарифма произведения к сумме логарифмов и от логарифма частного к разности логарифмов, то при решении логарифмических уравнений лучше к ним вообще не прибегать. А уж если в этом есть крайняя необходимость, то надо заменять не на , а на , и заменять не на , а на . Иначе можно сузить ОДЗ со всеми вытекающими из этого негативными последствиями.

Приведем пример. Пусть дано уравнение . Преобразование этого логарифмического уравнения к уравнению с целью дальнейшего избавления от логарифмов log₂(x−3) и перехода к сравнительно простому уравнению log₂(2·(x−1))=log₂(x−5) - нехорошая затея. При таком преобразовании сужается ОДЗ с множества (−∞, 1)∪(5, +∞) до промежутка (5, +∞), и возникает риск потери корня x=−3. Чтобы этого избежать, надо использовать модули, то есть, переходить к уравнению . Но лучше вообще отказаться от замены логарифмов частных разностями логарифмов в пользу других подходов к решению. Например, можно от исходного уравнения перейти к равенству логарифмов и воспользоваться методом потенцирования, либо разность логарифмов заменить логарифмом частного, после чего решать уравнение по определению логарифма.
Логарифм степени , a>0, a≠1, b>0.

Записанная формула при преобразовании логарифмических уравнений применяется как слева направо, например, логарифмическое уравнение преобразуется к виду и дальше log₅x=2, так и справа налево, например, от уравнения log₂(x²+2·x)=3·log₂x можно перейти к уравнению log₂(x²+2·x)=log₂x³.

Необходимо особо отметить, что при четных показателях степени, как положительных, так и отрицательных, выражение , где k – любое целое отличное от нуля число, необходимо заменять не выражением , а выражением с модулем , чтобы избежать сужения ОДЗ. Приведем пример: при решении логарифмического уравнения вынесение четного показателя степени требует модуля: .

При замене в обратную сторону модуль не требуется, то есть, выражение заменяется выражением .
Формула перехода к новому основанию , a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1.

Обычно используется для приведения логарифмов в логарифмическом уравнении к одному основанию. Например, в уравнении log₂(3·x−2)·log_x3=2·log₂3 имеет смысл перейти к логарифмам по основанию два , чтобы дальше преобразовать уравнение к виду log₂(3·x−2)=log₂x² и решать его методом потенцирования.

Формулу перехода к новому основанию можно использовать и справа налево. Например, логарифмическое уравнение с опорой на формулу перехода к новому основанию можно преобразовать в уравнение и дальше – в совсем простое уравнение x−1=5.
Формула , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

При решении логарифмических уравнений иногда возникает необходимость поменять местами выражения под знаком логарифма и в его основании. Это делается как раз на основе записанной формулы. Приведем пример. Преобразование логарифмического уравнения к виду log₂(x+12)=2·log₂x и дальше log₂(x+12)=log₂x² открывает возможность действовать по методу потенцирования.

Напомним, что с опорой на формулу проводится замена переменной в логарифмических уравнениях, переменная в которых находится только в составе логарифмов с переставленными местами выражениями под их знаками и основаниями. Например, при решении логарифмического уравнения log_4·x+3(3·x+4)+log_3·x+4(4·x+3)=2 один из логарифмов принимается за t, при этом другой логарифм выражается через новую переменную t как 1/t.
Степень основания , a>0, a≠1, b>0, q≠0.

Преобразование логарифмических уравнений на базе этой формулы проводится также как и с использованием формулы логарифма степени. Вот пример вынесения степеней тройки из оснований логарифмов:

При вынесении четных степеней выражений с переменными необходимо помнить про модули, например,
Формула , a>0, b>0, b≠0, c>0.

Это следствие из формулы перехода к новому основанию логарифма зафиксировано далеко не во всех учебниках. Однако, в материалах для подготовки к ЕГЭ все чаще встречаются логарифмические уравнения, для преобразования которых его очень удобно использовать. Например, с опорой на него уравнение можно преобразовать в уравнение , для которого уже отчетливо просматривается дальнейшее решение.

К началу страницы

Не забываем про модули

Еще раз перечислим ситуации, в которых при преобразовании логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов требуется не забывать про модули:

При замене логарифма произведения (частного) суммой (разностью) логарифмов, например,
При вынесении четного показателя степени из-под знака логарифма, как в следующем случае
При вынесении четного показателя степени из основания логарифма, например,

К началу страницы

Аккуратнее со степенями

Преобразование логарифмических уравнений требует особой аккуратности при работе со степенями логарифмов, такими как , и т.п., и со степенями, в показателях которых находятся логарифмы, наподобие . Сейчас объясним почему.

Часто приходится видеть замены

на , вместо ;
на , вместо ;
на , вместо , и др.

Скорее всего, подобные ошибки можно объяснить нечетким пониманием принятой для степеней логарифмов записи. Запись означает r-ю степень логарифма . То есть, - это то же самое, что и . Здесь можно порекомендовать переписывать степени логарифмов , , … в виде , , …, а то и в виде произведений , , … . Поначалу с подобными записями работать привычнее, и естественным образом уменьшается количество ошибок.

Например, если переписать как , то останется логарифм произведения преобразовать в сумму логарифмов, то есть, практически гарантирован корректный переход к , и неоткуда взяться неверному преобразованию в .

Аналогично, если переписать как , то останется использовать формулу логарифма степени, и почти наверняка преобразование будет проведено правильно: .

Осталось разобраться с преобразованием степени . Степень - это не , поэтому, ее замена выражением с якобы опорой на основное логарифмическое тождество является ошибкой.

Как же правильно преобразовать ? Замена на здесь мало помогает. Стоит идти дальше – расписать в произведение , то есть, перейти от исходной степени к выражению . Для чего? Для того чтобы эту степень с произведением двух логарифмов в показателе переписать как , сославшись на формулу степени в степени (при необходимости повторите свойства степеней). После этого остается преобразовать выражение в скобках с опорой на основное логарифмическое тождество: . Итак, вот вся цепочка преобразований: .

Хотите примеры конкретных логарифмических уравнений, где это используется? Пожалуйста:

Решение первого из этих уравнений есть в статье решение логарифмических уравнений.

Здесь же заметим, что степени , и , где a>0, b>0, b≠1, r – любое число, f(x)>0, с опорой на свойства степеней и логарифмов могут быть преобразованы одна в другую. Кстати, в логарифмических уравнениях такими степенями часто скрывается возможность замены переменной. А вот степень к ним в компанию не входит. Например, при x>0 степени , и - это по сути одно и то же, а - это другое.

К началу страницы