Решение логарифмических уравнений - примеры с решениями

Решите уравнение log₅x=2

Все понятно без слов:
log₅x=2
x=5²
x=25

25

Решите логарифмическое уравнение

Это простейшее логарифмическое уравнение. Оно имеет единственный корень . Очевидно, полученная степень нуждается в доработке.

Сначала заменим квадратный корень из семи степенью: .

Теперь используем свойства степеней:

Остается вспомнить, как определяется степень с отрицательным показателем, и закончить вычисления:

На этом решение простейшего логарифмического уравнения завершено.

Решите уравнение

Начинаем со стандартного при решении простейших логарифмических уравнений перехода:

Надо бы упростить полученную степень.

Возвести дробь в минус первую степень – это кувыркнуть ее вверх ногами:

Теперь глаза мозолит иррациональность в знаменателе, исправим эту ситуацию:

Таким образом, - искомое решение простейшего логарифмического уравнения.

Решите уравнение

Обычно решение оформляется кратко:

А теперь поясним, какие рассуждения за всем этим скрываются.

Заданное логарифмическое уравнение имеет вид log_af(x)=b, где f(x)=2·x−4, a=1/2, b=−2. Такое логарифмическое уравнение можно решать по определению логарифма, то есть, заменять решение уравнения log_af(x)=b решением уравнения f(x)=a^b.

Итак, переходим от исходного уравнения к уравнению . Это рациональное уравнение, решаем его:

Так получено решение исходного логарифмического уравнения.

4

Решите логарифмическое уравнение log_x(−x²+5·x+3)=2

Заданное уравнение можно рассматривать как уравнение log_h(x)f(x)=g(x), где f(x)=−x²+5·x+3, h(x)=x, g(x)=2, и мы знаем, что такие уравнения можно решать по определению логарифма. Решение этим методом на первом этапе предполагает переход от уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x))^g(x). Имеем −x²+5·x+3=x².

Теперь нам надо решить полученное уравнение −x²+5·x+3=x². Оно сводится к квадратному уравнению 2·x²−5·x−3=0. Решаем его:

Остается пройти последний шаг решения логарифмического уравнения по определению логарифма – выяснить, какие из корней принадлежат ОДЗ для исходного уравнения. ОДЗ для исходного логарифмического уравнения log_x(−x²+5·x+3)=2 определяется системой .

Очевидно, не удовлетворяет второму условию, значит, это посторонний корень для исходного уравнения. А корень x₂=3 удовлетворяет всем условиям: . Значит, x₂=3 – это корень уравнения log_x(−x²+5·x+3)=2.

На этом решение завершено. Уравнение имеет единственный корень 3.

Естественно, так подробно решение не описывают. Обычно его оформляют кратко, но без ущерба для логики действий, например, так:

3

Решите уравнение .

Мы видим, что части уравнения являются логарифмами с одинаковыми основаниями. Подобные логарифмические уравнения удобно решать методом потенцирования.

Согласно выбранному методу, переходим от исходного уравнения к уравнению x+1=x²−1.

Теперь нам надо решить полученное уравнение x+1=x²−1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и приведение подобных слагаемых дает квадратное уравнение x²−x−2=0, которое можно решить, например, через дискриминант:

Остается проверить принадлежность найденных корней области допустимых значений переменной x для исходного уравнения. Для нашего логарифмического уравнения ОДЗ определяют два условия x+1>0 и x²−1>0. Очевидно, x₁=−1 не удовлетворяет первому условию (−1+1>0 - неверное), значит, это посторонний корень для решаемого уравнения. А корень x₂=2 удовлетворяет обоим условиям (2+1>0 – верное, 2²−1>0 - верное). Значит, он является корнем уравнения .

На этом решение логарифмического уравнения методом потенцирования завершено. Уравнение имеет единственный корень, им является число 2.

2

Решите уравнение

Решение логарифмического уравнения можно провести методом разложения на множители, так как в левой части уравнения находится произведение двух выражений с переменной, а в правой – нуль.

Первый шаг – переход к совокупности уравнений:

Второй шаг – решение полученных логарифмических уравнений.

Первое уравнение можно решить по определению логарифма, а второе - методом потенцирования, после предварительного переноса второго логарифма в правую часть со знаком «плюс»:

На последнем шаге остается выяснить, принадлежат ли найденные корни 2 и 5 ОДЗ для решаемого логарифмического уравнения :

На этом решение логарифмического уравнения методом разложения на множители завершено.

2

Решите логарифмическое уравнение

Введение новой переменной 2−log₂x=t позволяет перейти от логарифмического уравнения к сравнительно простому уравнению t⁴=16 с понятной структурой и очевидным решением:

Возврат к старой переменной дает два логарифмических уравнения 2−log₂x=2 и 2−log₂x=−2, решив которые находим интересующее нас решение исходного уравнения:

Итак, логарифмическое уравнение имеет два корня 1 и 16.

В заключение заметим: введение новой переменной в подобных и, прямо скажем, простых ситуациях настолько прозрачно, что его проводят «в уме», и не отражают в решении:

1; 16

Решить уравнение

Выражения 2^{2·(log₅x)2} и 2^(log₅x)2, в которых содержится переменная в заданном логарифмическом уравнении, почти одинаковые. Различие вносит лишь число 2 в показателе первой степени. Здесь несложно догадаться, что по свойству степени в степени, выражение 2^{2·(log₅x)2} можно переписать как (2^(log₅x)2)², что открывает дорогу к замене переменной 2^(log₅x)2=t и переходу к квадратному уравнению t²−15·t−16=0 с новой переменной t.

Итак, проведем решение логарифмического уравнения через замену переменной:

1/25; 25

Решите логарифмическое уравнение

Здесь полезно вспомнить следствие из формулы перехода к новому основанию логарифма, которому отвечает формула log_ab=1/log_ba, a>0, a≠1, b>0, b≠1. Так возникает идея обозначить один из логарифмов в заданном логарифмическом уравнении за t, тогда другой логарифм будет выражаться через новую переменную t как 1/t.

Остается вернуться к старой переменной x, и закончить решение. Мы принимали log_x+3(3·x+13)=t и нашли t=2, поэтому

Итак, логарифмическое уравнение имеет единственное решение 1.

1

Решите логарифмическое уравнение

Решение логарифмических уравнений, в левых частях которых находится дроби, а в правых – нули, проводится в соответствии с методом решения уравнений «дробь равна нулю». При этом надо приравнять числитель дроби к нулю, и решить это уравнение на ОДЗ для исходного уравнения.

Итак, решение начинаем с приравнивания к нулю числителя дроби из левой части заданного уравнения. Это дает уравнение log₃(x−3)²−4=0, которое равносильно уравнению log₃(x−3)²=4. Решение полученного логарифмического уравнения можно провести по определению логарифма:

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений переменной x для исходного логарифмического уравнения. В нашем случае условий, которые определяют ОДЗ, довольно много, поэтому, кажется, рациональнее действовать через непосредственную подстановку. Подставим найденные корни в исходное уравнение и посмотрим, что при этом получается.

Подстановка x₁=12 дает верное числовое равенство

Поэтому, 12 является корнем.

При подстановке x₂=−6 получается не имеющее смысла выражение , так как под знаками логарифмов в знаменателе – отрицательные числа. Значит, −6 – посторонний корень.

12

Решите уравнение

Данное уравнение – это типичный представитель уравнений, для решения которых используется метод логарифмирования. В левой части уравнения – степень, на ОДЗ для уравнения эта степень принимает только положительные значения. Это открывает возможность прологарифмировать обе части заданного уравнения. В нашем случае логарифмирование целесообразно проводить по основанию 2, так как в исходном уравнении присутствует логарифм с таким основанием. Так и поступим:

Для нашего уравнения ОДЗ определяется условием x>0. Поэтому, мы спокойно можем вынести степень из-под знака логарифма, оперевшись на соответствующее свойство логарифмов (подробнее про решение логарифмических уравнений через преобразования поговорим в одном из следующих пунктов):

И это, собственно, то, ради чего логарифмирование затевалось – привести логарифмическое уравнение к более простому и привычному виду. Дальнейшие преобразования не требуют комментирования:

Полученное логарифмическое уравнение, очевидно, можно решить методом замены переменной:

1/4; 2

Сколько корней имеет уравнение

Сама формулировка задания подсказывает, что, скорее всего, решить уравнение, что называется, в лоб, и указать не только количеств корней, но и сами эти корни, не выйдет. Иначе бы вопрос стоял «решить уравнение». Действительно, путей решения этого уравнения не видно.

Однако, количество корней удобно определять по графикам функций, соответствующих частям уравнения. Более того, в данном случае построить графики этих функций довольно просто. Нам хорошо известны функции и y=log₂x и их графики. Графики интересующих нас функций и y=log₂(x−2) будут иметь схожую геометрию с точностью до преобразований растяжения и симметрии. Поэтому, нам достаточно взять несколько опорных точек, чтобы изобразить нужные кривые. Давайте получим их, учитывая, что область определения функции - это x≤15/4, а область определения функции y=log₂(x−2) - это x>2.

Имеем

и

Отмечаем эти точки на плоскости в прямоугольной системе координат, соединяем их плавными линиями, и чертеж готов:

Видно, что графики имеют одну точку пересечения на отрезке от трех до пятнадцати четвертых. Больше их быть не может, так как функция убывает на указанном отрезке от до нуля, а функция y=log₂(x−2) возрастает на этом отрезке от нуля до log₂(7/4).

Это позволяет нам утверждать, что уравнение имеет один корень.

один корень

Решите уравнение

Для заданного уравнения не видно других подходов к решению, кроме как обращаться к функциям и их свойствам. Можно строить графики, но делать это для функции, отвечающей правой части уравнения, не очень приятно из-за довольно «большого» числа 11 и довольно «высокой» степени 5. Попробуем обойтись без чертежа.

Вместо этого обопремся на возрастание логарифмической функции, отвечающей левой части уравнения, и убывание функции, отвечающей правой части уравнения (она убывает, как возрастающая от убывающей). Это позволяет утверждать, что если уравнение имеет корень, то он единственный. А найти корень позволяет подбор по рекомендациям, данным в статье, посвященной методу решения уравнений через возрастание-убывание, – им является число 10.

На этом решение логарифмического уравнения завершено.

10

Решить уравнение

Своего рода оценочная классика: логарифм, синус, косинус, корень – все в одном уравнении. Итак, пробуем провести решение уравнения методом оценки. Но сначала, все же, квадратный корень из квадрата заменим модулем:

Теперь к оценкам.

Косинус принимает значения из отрезка −1 до 1, а его модуль – [0, 1]. Следовательно, . С другой стороны, как четная степень, откуда . Таким образом, значения выражения из левой части уравнения не превосходят 1, а значения выражения из правой части уравнения не меньше 1. Это позволяет нам заменить решение исходного уравнения решением следующей системы

Что делать с первым уравнением системы - сразу не понятно, зато вполне реально получить решение второго логарифмического уравнения:

Теперь путем подстановки выясним, удовлетворяют ли найденные корни логарифмического уравнения 2 и 3 первому уравнению системы, а значит, системе в целом, и исходному уравнению.

Давайте начнем с числа 3, с ним все просто:

Это верное равенство, следовательно, 3 – решение системы и корень исходного уравнения.

А вот с числом 2 придется повозиться.

Это равенство неверное (обоснуем чуть ниже), следовательно, 2 – не является решением системы, и не является корнем исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет один единственный корень 3.

А вот обещанное обоснование.

Модуль косинуса равен единице, если аргумент косинуса равен . А не равно sin10 ни при каком целом k. Действительно, при k=0, очевидно, sin10≠0. При любом другом целом k равенство неверное, так как значения синуса находятся в отрезке от −1 до 1.

3

Решите уравнение

Беглый анализ уравнения, можно сказать, ставит в тупик относительно способа его решения. И почти единственным и, так или иначе, адекватным мероприятием выглядит нахождение ОДЗ. Что называется, в любом случае пригодится.

Находим ОДЗ:

Вот как все обернулось: ОДЗ есть пустое множество. Следовательно, уравнение не имеет корней.

нет корней

Найдите решение уравнения

Как тут действовать? Непонятно, что здесь можно предложить в альтернативу методу освобождения от внешней функции.

А так заданное логарифмическое уравнение можно рассматривать как уравнение , где функция f такая, что . Очевидно, f – возрастающая функция как сумма двух возрастающих. Это позволяет освободиться от внешней функции f в уравнении , то есть, на ОДЗ перейти к уравнению .

Здесь заметим, что область допустимых значений переменной для полученного уравнения совпадает с ОДЗ для исходного уравнения (она такова ). Значит, решение полученного уравнения является решением исходного уравнения.

Остается решить логарифмическое уравнение , что можно сделать через потенцирование:

Решите логарифмическое уравнение

Просматривается возможность прийти к одинаковым логарифмам в левой части уравнения. Для начала вынесем показатель 2 из-под знака логарифма, и так как он есть четное число, то не забудем про модуль:

Для раскрытия модуля нам потребуется ОДЗ для исходного уравнения:

С учетом этого, имеем

Дальше все просто:

−2

Решите уравнение

Просматривается возможность упростить вид заданного логарифмического уравнения. Для начала перепишем его как , чтобы не наделать ошибок при преобразовании квадратов логарифмов. Дальше все довольно прозрачно:

Теперь пора ввести новую переменную:

Остается вернуться к старой переменной:

3; 9

Решите уравнение

Просматриваются черты основного логарифмического тождества. Сейчас поработаем в этом направлении. Но сначала давайте найдем область допустимых значений переменной x – она бывает нужна при проведении преобразований и при проведении проверки. Тем более, в нашем случае ОДЗ находится легко:

Теперь приступаем к преобразованию:

А дальше все легко:

При найденных значениях переменной знаменатели дробей в уравнении в нуль не обращаются, а также 0 и 2 принадлежат ОДЗ для исходного уравнения, следовательно, являются его корнями.

0; 2