Использование определения корня при решении иррациональных уравнений

Разбирать методы решения иррациональных уравнений начнем с метода, который базируется на определении корня из числа. В этой статье мы всесторонне разберем этот метод и рассмотрим его применение при решении характерных примеров.

Описание метода

Через определение корня обычно решаются простейшие иррациональные уравнения , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения. Аналогично решаются и иррациональные уравнения , в которых f(x) и/или g(x) являются выражениями, отличными от рациональных. Но здесь стоит заметить, что во многих случаях такие уравнения удобнее решать другими методами, о которых будет отдельный разговор. Так что давайте будем считать f(x) и g(x) рациональными выражениями. На них проще разобрать азы интересующего нас метода. А после того, как этот метод будет хорошо усвоен, не составит труда распространить его на другие иррациональные уравнения.

Для удобства изложения материала отделим иррациональные уравнения с четными показателями корня, то есть, уравнения , 2·k=2, 4, 6, …, от уравнений с нечетными показателями корня , 2·k+1=3, 5, 7, … Сразу озвучим подходы к их решению:

  • Иррациональное уравнение имеет то же множество решений, что и система . То есть, .
  • Иррациональное уравнение равносильно уравнению . То есть, .

Приведенные подходы напрямую следуют из базирующихся на определении корня результатов и .

Итак, метод решения иррациональных уравнений по определению корня состоит в следующем:

  • решение уравнения заменяется решением системы ,
  • а решение иррационального уравнения - решением уравнения .

К началу страницы

Алгоритм

Информация из предыдущего пункта позволяет записать алгоритмы решения иррациональных уравнений и через определение корня.

Чтобы решить иррациональное уравнение по определению корня, надо

  1. Перейти к системе .
  2. Решить систему. Ее решение дает решение исходного уравнения.

Чтобы решить иррациональное уравнение по определению корня, надо

  1. Перейти к равносильному уравнению .
  2. Решить уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Теперь можно рассмотреть решения характерных примеров.

К началу страницы

Примеры решения уравнений

По определению корня наиболее удобно решать простейшие иррациональные уравнения с числами в правых частях, то есть, уравнения , где C – некоторое число. Когда в правой части уравнения находится число, то даже при четном показателе корня не обязательно переходить к системе: если С – неотрицательное число, то по определению корня четной степени , а если С – отрицательное число, то сразу можно делать вывод об отсутствии корней уравнения , ведь по определению корень четной степени есть неотрицательное число, значит уравнение не обращается в верное числовое равенство ни при каких действительных значениях переменной x.

Чтобы идти от простого к сложному, с решения таких уравнений и начнем. И для начала решим простейшее иррациональное уравнение, в левой части которого находится корень четной степени, а в правой части - положительное число: , где C – положительное число. Определение корня позволяет перейти от решения заданного иррационального уравнения к решению более простого уравнения без корней С2·k=f(x).

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Аналогично по определению корня решаются простейшие иррациональные уравнения с нулем в правой части.

Пример

Решите иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Отдельно остановимся на иррациональных уравнениях, в левой части которых находится корень четной степени с переменной под его знаком, а в правой – отрицательное число. Такие уравнения не имеют решений на множестве действительных чисел (про комплексные корни мы будем говорить после знакомства с комплексными числами). Это довольно очевидно: корень четной степени по определению есть неотрицательное число, значит, он не может быть равен отрицательному числу.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Левые части иррациональных уравнений из предыдущих примеров были корнями четных степеней, а правые - числами. Сейчас рассмотрим примеры с переменными в правых частях, то есть, будем решать иррациональные уравнения вида . Для их решения по определению корня осуществляется переход к системе , которая имеет то же множество решений что и исходное уравнение.

Пример

Решить уравнение .

Смотреть решение

Нужно иметь в виду, что систему , к решению которой сводится решение исходного иррационального уравнения , желательно решать не механически, а, по возможности, рационально. Понятно, что это больше вопрос из темы «решение систем», но все же перечислим три часто встречающихся ситуации с иллюстрирующими их примерами:

  1. К примеру, если первое ее уравнение g2·k(x)=f(x) не имеет решений, то нет смысла решать еще и неравенство g(x)≥0, ведь уже из отсутствия решений уравнения можно сделать вывод об отсутствии решений системы.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

  1. Аналогично, если неравенство g(x)≥0 не имеет решений, то не обязательно решать еще и уравнение g2·k(x)=f(x), ведь и без этого понятно, что в этом случае система не имеет решений.

Пример

Имеет ли решения иррациональное уравнение .

Смотреть решение

  1. Довольно часто неравенство g(x)≥0 вообще не решают, а лишь проверяют, какие из корней уравнения g2·k(x)=f(x) ему удовлетворяют. Множество всех тех из них, которые удовлетворяют неравенству, является решением системы, значит, является и решением равносильного ей исходного иррационального уравнения.

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Смотреть решение

Достаточно про уравнения с четными показателями корней. Пора уделить внимание и иррациональным уравнениям с корнями нечетных степеней вида . Как мы уже сказали, для их решения осуществляется переход к равносильному уравнению , которое решается любыми доступными методами.

Пример

Найдите решение иррационального уравнения .

Смотреть решение

В заключение этого пункта упомянем про проверку решений. Метод решения иррациональных уравнений по определению корня гарантирует равносильность переходов. Значит, проверку найденных решений проводить не обязательно. Этот момент можно отнести к преимуществам данного метода решения иррациональных уравнений, ведь в большинстве других методов проверка является обязательным этапом решения, позволяющем отсечь посторонние корни. Но при этом следует помнить, что проверка путем подстановки найденных решений в исходное уравнение никогда не бывает лишней: вдруг где закралась вычислительная ошибка.

Итак, мы научились решать иррациональные уравнения с опорой на определение корня. Пришло время изучить следующий метод решения иррациональных уравнения - метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

К началу страницы