Решение иррациональных уравнений через переход к модулям

Давайте продолжим изучать методы решения иррациональных уравнений. В этой статье мы поговорим про метод решения иррациональных уравнений через переход к модулям. Сначала разберем, когда и на какой основе проводится переход к модулям. Дальше перейдем к решению характерных иррациональных уравнений.

Когда и на какой основе проводится переход к модулям?

Переход к модулям при решении иррациональных уравнений проводится, когда под знаком корня четной степени находится степень некоторого выражения с показателем, равным показателю корня. Такое преобразование имеет место в силу одного из свойств корней, которому отвечает формула , где 2·m – четное число, a – любое действительное число. Стоит заметить, что это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Действительно, при таком преобразовании происходит замена корня тождественно равным ему модулем, при этом ОДЗ не изменяется.

К началу страницы

Примеры решения характерных иррациональных уравнений

Рассмотрим характерное иррациональное уравнение, решить которое позволяет переход к модулю.

Пример

Решите иррациональное уравнение

Смотреть решение

Всегда ли стоит переходить к модулям, когда есть такая возможность? В подавляющем большинстве случаев такой переход оправдан. Исключение составляют те случаи, когда очевидно, что альтернативные методы решения иррационального уравнения требуют сравнительно меньших трудозатрат. Давайте возьмем иррациональное уравнение, которое можно решить и через переход к модулям и какими-нибудь еще методами, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или по определению корня, и посмотрим, какое из решений будет наиболее простым и компактным.

Пример

Решить уравнение

Смотреть решение

В решенном примере предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат. Могли ли мы это знать до решения уравнения всеми тремя методами? Скажем прямо, это было не очевидно. Так что когда просматриваются несколько методов решения и сразу непонятно, какой из них предпочесть, стоит пробовать получить решение любым из них. Если это получится, то хорошо. Если же выбранный метод не приводит к результату или решение оказывается очень сложным, то стоит пробовать другой метод.

В заключение этого пункта остановимся на иррациональном уравнении . Попытка его решения через уединение радикала и возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к числовому равенству 0=0 и невозможности сделать вывод о корнях. А решение по определению корня оказывается связанным с необходимостью решения иррационального неравенства, что само по себе довольно сложно. Хорошим методом решения этого иррационального уравнения является переход к модулям. Приведем подробное решение.

Пример

Решить иррациональное уравнение

Смотреть решение

Остается сказать, что решение иррациональных уравнений через переход к модулям является частным случаем метода решения иррациональных уравнений через преобразования.

К началу страницы