Решение иррациональных уравнений через переход к модулям
Давайте продолжим изучать методы решения иррациональных уравнений. В этой статье мы поговорим про метод решения иррациональных уравнений через переход к модулям. Сначала разберем, когда и на какой основе проводится переход к модулям. Дальше перейдем к решению характерных иррациональных уравнений.
Когда и на какой основе проводится переход к модулям?
Переход к модулям при решении иррациональных уравнений проводится, когда под знаком корня четной степени находится степень некоторого выражения с показателем, равным показателю корня. Такое преобразование имеет место в силу одного из свойств корней, которому отвечает формула , где 2·m – четное число, a – любое действительное число. Стоит заметить, что это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Действительно, при таком преобразовании происходит замена корня тождественно равным ему модулем, при этом ОДЗ не изменяется.
Примеры решения характерных иррациональных уравнений
Рассмотрим характерное иррациональное уравнение, решить которое позволяет переход к модулю.
Всегда ли стоит переходить к модулям, когда есть такая возможность? В подавляющем большинстве случаев такой переход оправдан. Исключение составляют те случаи, когда очевидно, что альтернативные методы решения иррационального уравнения требуют сравнительно меньших трудозатрат. Давайте возьмем иррациональное уравнение, которое можно решить и через переход к модулям и какими-нибудь еще методами, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или по определению корня, и посмотрим, какое из решений будет наиболее простым и компактным.
В решенном примере предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат. Могли ли мы это знать до решения уравнения всеми тремя методами? Скажем прямо, это было не очевидно. Так что когда просматриваются несколько методов решения и сразу непонятно, какой из них предпочесть, стоит пробовать получить решение любым из них. Если это получится, то хорошо. Если же выбранный метод не приводит к результату или решение оказывается очень сложным, то стоит пробовать другой метод.
В заключение этого пункта остановимся на иррациональном уравнении . Попытка его решения через уединение радикала и возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к числовому равенству 0=0 и невозможности сделать вывод о корнях. А решение по определению корня оказывается связанным с необходимостью решения иррационального неравенства, что само по себе довольно сложно. Хорошим методом решения этого иррационального уравнения является переход к модулям. Приведем подробное решение.
Остается сказать, что решение иррациональных уравнений через переход к модулям является частным случаем метода решения иррациональных уравнений через преобразования.