Метод разложения на множители при решении иррациональных уравнений

В статье метод разложения на множители очень подробно разобрана вся соответтвующая теория. Здесь мы не будем ее полностью повторять, а перечислим лишь основные положения и запишем алгоритм метода разложения на множители. Просто удобно, если он будет перед глазами, когда мы перейдем к решению примеров.

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левых частях которых находится некоторое произведение, а в правых – нули, то есть, для решения уравнений вида f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0, где f₁, f₂, …, f_n – некоторые функции. Суть метода состоит в замене уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 совокупностью уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на ОДЗ переменной x для исходного уравнения.

Первая часть последнего предложения про переход к совокупности следует из известного с начальной школы факта: произведение нескольких чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Наличие второй части про ОДЗ объясняется тем, что переход от уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 может быть неравносильным и приводить к появлению посторонних корней, от которых в данном случае позволяет избавиться учет ОДЗ. Стоит отметить, что отсеивание посторонних корней, если это удобно, может быть проведено не только через ОДЗ, но и другими способами, например, проверкой через подстановку найденных корней в исходное уравнение.

Итак, чтобы решить уравнение f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 методом разложения на множители, в том числе и иррациональное, нужно

• Перейти к совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0,
• Решить составленную совокупность,
• Если совокупность решений не имеет, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же корни есть, то отсеять посторонние корни.

Переходим к практической части.

К началу страницы

Левые части типичных иррациональных уравнений, которые решаются методом разложения на множители, представляют собой произведения нескольких алгебраических выражений, обычно линейных двучленов и квадратных трехчленов, и нескольких корней с алгебраическими выражениями под ними. В правых частях нули. Такие уравнения идеальны для получения начальных навыков использования метода разложения на множители для решения иррациональных уравнений. С решения подобного уравнения начнем и мы. При этом попробуем достичь двух целей:

• разобрать все шаги алгоритма,
• вспомнить три основных способа отсеивания посторонних корней (по ОДЗ, по условиям ОДЗ и при помощи непосредственной подстановки решений в исходное уравнение).

Следующее иррациональное уравнение типично в том плане, что при его решении методом разложения на множители отсеивание посторонних корней удобно проводить по условиям ОДЗ, а не по ОДЗ в виде числового множества, так как получить ОДЗ в виде числового множителя затруднительно. Сложность в том, что одно из условий, определяющих ОДЗ, представляет собой иррациональное неравенство . Указанный подход к отсеиванию посторонних корней позволяет обойтись без его решения, более того, иногда в школьном курсе математики вообще не знакомятся с решением иррациональных неравенств.

Хорошо, когда уравнение имеет в левой части произведение, а в правой – ноль. В этом случае сразу можно переходить к совокупности уравнений, решить ее, найти и отбросить посторонние для исходного уравнения корни, что даст искомое решение. Но чаще уравнения имеют иной вид. Если при этом просматривается возможность преобразовать их к виду, подходящему для применения метода разложения на множители, то почему бы не попробовать провести соответствующие преобразования. Например, чтобы получить произведение в левой части следующего иррационального уравнения, достаточно прибегнуть к формуле сокращенного умножения разность квадратов.

Есть еще один класс уравнений, которые обычно решают методом разложения на множители. К нему относятся уравнения, обе части которых являются произведениями, имеющими одинаковый множитель в виде выражения с переменной. Таково, например, иррациональное уравнение . Можно пойти путем деления обеих частей уравнения на одинаковый множитель, но при этом нельзя забывать отдельно проверять значения, обращающие в нуль это выражения, иначе можно потерять решения, ведь деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение может быть неравносильным преобразованием. Надежнее действовать по методу разложения на множители, это позволяет гарантированно избежать потери корней при дальнейшем корректном решении. Понятно, что для этого надо сначала получить в левой части уравнения произведение, а в правой части получить ноль. Это легко: достаточно перенести выражение из правой части в левую, изменив его знак, и вынести общий множитель за скобки. Покажем полное решение подобного, но чуть более сложного иррационального уравнения.

Решение любого уравнения (как, впрочем, и решение многих других задач) полезно начинать с нахождения ОДЗ, особенно если ОДЗ находится легко. Приведем несколько самых очевидных доводов в пользу этого.

• Довольно часто требуется проводить какие-либо преобразования уравнения (как, например, в предыдущем примере), а они, как известно, проводятся на ОДЗ.
• Во многих случаях так и так приходится находить ОДЗ, так как это является неотъемлемой частью алгоритма выбранного метода решения, так почему бы не найти ОДЗ сразу. Например, последний шаг алгоритма метода разложения на множители состоит в отсеивании посторонних корней, что удобно делать, используя ОДЗ.
• А иногда ОДЗ позволяет сразу сделать вывод об отсутствии корней или ограничить круг поиска корней несколькими числами. Это относится к случаям, когда ОДЗ есть пустое множество или множество, представляющее собой некоторое количество чисел. Подробнее об этом поговорим в отдельной статье решение иррациональных уравнений через ОДЗ.

Итак, получив задание решить уравнение, не стоит без оглядки бросаться в преобразования-вычисления, может достаточно взглянуть на ОДЗ? Это ярко демонстрирует следующее иррациональное уравнение.