Методы решения уравнений

Метод решения уравнений по определению логарифма

Для решения каких уравнений применяется

Метод решения уравнений по определению логарифма применяется для решения уравнений, в левых частях которых находятся логарифмы некоторых выражений с переменной, а в правых частях – числа или некоторые выражения с переменной. Этим уравнениям отвечает общая формула logh(x)f(x)=g(x).

Для наглядности приведем несколько примеров уравнений, для решения которых подходит метод решения по определению логарифма. Сравнительно простые уравнения имеют числа в основаниях логарифмов и в правых частях. Такими, например, являются логарифмические уравнения log9(x−1)=−1/2, log2(x2+4·x+3)=3 и др. В основаниях логарифмов и/или в правых частях сравнительно сложных уравнений находятся выражения с переменными: , log2(9−2x)=3−x и logx(3·xlgx+4)=2·lgx.

К началу страницы

Суть метода решения уравнений по определению логарифма

Суть метода решения уравнений по определению логарифма состоит в переходе от решения уравнения logh(x)f(x)=g(x) к решению уравнения f(x)=(h(x))g(x) на области допустимых значений переменной x для исходного уравнения.

Возникает логичный вопрос: «Причем здесь определение логарифма»? А вот причем. Определение логарифма позволяет заменять равенство logrp=q равенством p=rq при условии, что p>0, r>0, r≠1. Переход от логарифмического уравнения logh(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x))g(x) – это аналог замены logrp=q на p=rq, а нахождение в рамках ОДЗ для исходного уравнения (ОДЗ определяется условиями f(x)>0, h(x)>0, h(x)≠1 и D(g)) – это аналог выполнения условий p>0, r>0, r≠1.

Например, решение уравнения logx(5·x+3−x2)=2 (это уравнение имеет вид logh(x)f(x)=g(x), где f(x)=5·x+3−x2, h(x)=x, g(x)=2) по определению логарифма подразумевает переход к решению уравнения 5·x+3−x2=x2 (f(x)=(h(x))g(x)) на ОДЗ для исходного уравнения.

К началу страницы

Обоснование метода

Решение уравнений по определению логарифма проводится на базе следующей теоремы:

Теорема

Множество решений уравнения logh(x)f(x)=g(x) совпадает с множеством решений уравнения f(x)=(h(x))g(x) на ОДЗ переменной x для уравнения logh(x)f(x)=g(x).

Доказательство

Из определения логарифма напрямую следует, что формула logrp=q, p>0, r>0, r≠1 выражает то же самое, что и формула p=rq. Это будем использовать дальше.

Пусть x0 – корень уравнения logh(x)f(x)=g(x). Тогда logh(x0)f(x0)=g(x0) – верное числовое равенство. Из этого равенства с учетом сказанного в предыдущем абзаце следует, что f(x0)=(h(x0))g(x0) – верное равенство. А из этого следует, что x0 – корень уравнения f(x)=(h(x))g(x).

Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения f(x)=(h(x))g(x), причем x0 принадлежит ОДЗ для уравнения logh(x)f(x)=g(x). Из того, что x0 – корень уравнения f(x)=(h(x))g(x) следует, что f(x0)=(h(x0))g(x0) – верное числовое равенство. Из того, что x0 принадлежит ОДЗ для уравнения logh(x)f(x)=g(x) следует, что логарифм logh(x0)f(x0) имеет смысл. А из двух последних выводов и утверждения из первого абзаца вытекает, что logh(x0)f(x0)=g(x0) – верное числовое равенство. Это в свою очередь означает, что x0 – корень уравнения logh(x)f(x)=g(x).

Это доказывает теорему в целом.

Итак, в общем случае уравнения logh(x)f(x)=g(x) и f(x)=(h(x))g(x) не являются равносильными уравнениями. Уравнение f(x)=(h(x))g(x) в общем случае есть следствие уравнения logh(x)f(x)=g(x). То есть, при переходе от уравнения logh(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x))g(x) могут появляться посторонние корни. Причина появления посторонних корней – это расширение ОДЗ. Например, при переходе от уравнения logx(−x2+5·x+3)=2 к уравнению −x2+5·x+3=x2 происходит расширение ОДЗ (пропадают накладываемые логарифмом ограничения на значения переменной), а это влечет появление корня x=−1/2, который является посторонним для исходного уравнения. Действительно, при x=−1/2 исходное уравнение logx(−x2+5·x+3)=2 не имеет смысла (в основании логарифма оказывается отрицательное число). Таким образом, при решении уравнений по определению логарифма нужно помнить про необходимость отсеивания посторонних корней.

Однако необходимо заметить, что если в основании логарифма в уравнении находится число, а не выражение с переменной, то при переходе по определению логарифма посторонние корни не возникают. Другими словами, уравнения logaf(x)=g(x) и f(x)=ag(x), где a большее нуля и отличное от единицы число, - равносильные. Действительно, в дополнение к уже доказанной теореме несложно доказать, что любой корень x0 уравнения f(x)=ag(x) является корнем уравнения logaf(x)=g(x) безо всяких оговорок про ОДЗ. Так, если x0 – корень уравнения f(x)=ag(x), то f(x0)=ag(x0) – верное числовое равенство. Из последнего равенства и из того, что ag(x0)>0 как степень положительного числа, следует, что f(x0)>0. Из этого в свою очередь следует, что logaf(x0) имеет смысл. А из этого и из равенства f(x0)=ag(x0) в силу определения логарифма вытекает, что logaf(x0)=g(x0) – верное числовое равенство. Значит, x0 – корень уравнения logaf(x)=g(x).

Таким образом,

К началу страницы

Алгоритм решения уравнений по определению логарифма

Вся приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнений по определению логарифма.

Чтобы решить уравнение logh(x)f(x)=g(x) по определению логарифма, надо

  1. перейти к уравнению f(x)=(h(x))g(x),
  2. решить это уравнение,
  3. Если в основании логарифма в исходном уравнении находится число, то записать полученные на предыдущем шаге корни в ответ. Если же в основании логарифма в исходном уравнении находится выражение с переменной, то надо провести отсеивание посторонних корней любым удобным способом.

К началу страницы

Примеры с решениями

Пример

Решите уравнение по определению логарифма: log2(9−2x)=3−x

Решение

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, в первую очередь нам надо перейти от исходного уравнения log2(9−2x)=3−x к уравнению 9−2x=23−x.

Теперь нам надо решить полученное уравнение 9−2x=23−x. Это показательное уравнение. Решаем его:

Итак, уравнение 9−2x=23−x имеет два корня 0 и 3.

Нужна ли проверка найденных корней для исходного уравнения log2(9−2x)=3−x? Проверка необязательна, так как в основании логарифма находится число, а не выражение с переменной. Так что на этом решение уравнения по определению логарифма завершено, записываем оба корня 0 и 3 в ответ.

Ответ:

0; 3.


Пример

Решите уравнение

Решение

Вид уравнения таков, что решать его можно по определению логарифма. На первом шаге этот метод предполагает переход от исходного уравнения к уравнению .

Теперь надо решить полученное уравнение . Это иррациональное уравнение. Решаем его:

Так мы решили уравнение , оно имеет единственный корень 8.

Нужно ли проверять найденный корень на предмет того, не является ли он посторонним для исходного уравнения? Давайте смотреть. В решаемом уравнении в основании логарифма находится выражение с переменной. А мы знаем, что в этом случае переход по определению логарифма может быть неравносильным. Поэтому, следует сделать проверку.

Проверку можно делать любым способом, хоть по ОДЗ, хоть через подстановку. Давайте сделаем проверку подстановкой. Подстановка числа 8 в исходное уравнение дает в основании логарифма отрицательное число: . Отсюда делаем вывод, что 8 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Таким образом, уравнение вообще не имеет корней.

Ответ:

нет корней.

К началу страницы