Решение уравнений четвертой степени.
Решение уравнений четвертой степени можно проводить по общей схеме решения уравнений высших степеней. Однако, есть несколько специфических видов таких уравнений – двучленное, биквадратное и возвратное. На них подробно остановимся.
Уравнение четвертой степени имеет решение в радикалах. Метод Феррари позволяет свести решение к кубическому уравнению.
Иногда применение искусственных приемов разложения многочлена на множители быстро приводит к результату.
Решение двучленного уравнения четвертой степени.
Этот тип уравнений четвертой степени является простейшим, само уравнение имеет вид 
.
Решается с использованием формул сокращенного умножения.
И находятся корни двух полученных квадратных трехчленов.
Разберем на примере.
Пример.
Решить уравнение четвертой степени 
.
Решение.
Разложим на множители многочлен 
:
Находим корни первого квадратного трехчлена:
Находим корни второго трехчлена:
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня.
Ответ:
и 
.
Решение возвратного уравнения четвертой степени.
Уравнение вида 
называют возвратным уравнением четвертого порядка.
Легко проверить, что х=0 не является корнем этого уравнения: 
. Поэтому можно разделить на 
обе части уравнения:
Проведем замену переменных 
:
Таким образом, возвратное уравнение четвертой степени сводится к квадратному уравнению.
Пример.
Найти все комплексные корни уравнения 
.
Решение.
Это уравнение в силу симметрии коэффициентов является возвратным. Разделим на обе части уравнения (х=0 корнем не является, поэтому деление не приведет к потере этого корня).
Проведем группировку:
Сделаем замену переменной 
Пришли к квадратному уравнению. Решаем его.
Возвращаемся к замене: 
, 
.
Решаем первое уравнение:
Решаем второе уравнение:
Ответ:
и 
.
Решение биквадратного уравнения.
Уравнение четвертой степени вида 
называют биквадратным уравнением. Заменой 
биквадратное уравнение сводится к квадратному 
, которое решается стандартным методом.
Пример.
Решить биквадратное уравнение 
.
Решение.
Проведем замену переменной , тогда исходное уравнение сведется к квадратному:
Следовательно, 
или 
. Из первого равенства находим 
, второе полученное уравнение действительных корней не имеет, зато имеет пару комплексно сопряженных корней 
.
Ответ:
и .
Пример.
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 
.
Решение.
Сведем исходное биквадратное уравнение к квадратному заменой
Поэтому, в силу замены переменной, 
или 
.
Имеем 
.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями.
Отыскание рациональных корней уравнения четвертой степени проводится по алгоритму, описанному в разделе решение уравнений высших степеней.
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари.
В общем случае, приведенное уравнение четвертой степени вида 
можно решить методом Феррари.
Находится 
- любой из корней кубического уравнения 
(см. решение кубических уравнений). Затем решаются два квадратных уравнения 
, в которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни этих уравнений являются корнями исходного уравнения четвертой степени.
Пример.
Найти корни уравнения 
.
Решение.
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Решим этот пример по методу Феррари.
Составляем и решаем кубическое уравнение:
Одним из корней полученного кубического уравнения является 
, так как 
.
Получаем два квадратных уравнения
Корнями первого уравнения являются 
, корнями второго х = 1 и х = -2.
Ответ:
.