Уравнения, решение уравнений Помощь в написании работ

Решение уравнений четвертой степени.


Решение уравнений четвертой степени можно проводить по общей схеме решения уравнений высших степеней. Однако, есть несколько специфических видов таких уравнений – двучленное, биквадратное и возвратное. На них подробно остановимся.

Уравнение четвертой степени имеет решение в радикалах. Метод Феррари позволяет свести решение к кубическому уравнению.

Иногда применение искусственных приемов разложения многочлена на множители быстро приводит к результату.


Решение двучленного уравнения четвертой степени.

Этот тип уравнений четвертой степени является простейшим, само уравнение имеет вид формула.

Решается с использованием формул сокращенного умножения.
формула

И находятся корни двух полученных квадратных трехчленов.

Разберем на примере.

Пример.

Решить уравнение четвертой степени формула.

Решение.

Разложим на множители многочлен формула:
формула

Находим корни первого квадратного трехчлена:
формула

Находим корни второго трехчлена:
формула

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня.

Ответ:

формула и формула.

Решение возвратного уравнения четвертой степени.


Уравнение вида формула называют возвратным уравнением четвертого порядка.

Легко проверить, что х=0 не является корнем этого уравнения: формула. Поэтому можно разделить на формула обе части уравнения:
формула

Проведем замену переменных формула:
формула

Таким образом, возвратное уравнение четвертой степени сводится к квадратному уравнению.

Пример.

Найти все комплексные корни уравнения формула.

Решение.

Это уравнение в силу симметрии коэффициентов является возвратным. Разделим на формула обе части уравнения (х=0 корнем не является, поэтому деление не приведет к потере этого корня).
формула

Проведем группировку:
формула

Сделаем замену переменной формула
формула

Пришли к квадратному уравнению. Решаем его.
формула

Возвращаемся к замене: формула, формула.

Решаем первое уравнение:
формула

Решаем второе уравнение:
формула

Ответ:

формула и формула.

Решение биквадратного уравнения.

Уравнение четвертой степени вида формула называют биквадратным уравнением. Заменой формула биквадратное уравнение сводится к квадратному формула, которое решается стандартным методом.

Пример.

Решить биквадратное уравнение формула.

Решение.

Проведем замену переменной формула, тогда исходное уравнение сведется к квадратному:
формула

Следовательно, формула или формула. Из первого равенства находим формула, второе полученное уравнение действительных корней не имеет, зато имеет пару комплексно сопряженных корней формула.

Ответ:

формула и формула.

Пример.

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения формула.

Решение.

Сведем исходное биквадратное уравнение к квадратному заменой формула
формула

Поэтому, в силу замены переменной, формула или формула.

Имеем формула.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями.

Отыскание рациональных корней уравнения четвертой степени проводится по алгоритму, описанному в разделе решение уравнений высших степеней.

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари.

В общем случае, приведенное уравнение четвертой степени вида формула можно решить методом Феррари.

Находится формула - любой из корней кубического уравнения формула (см. решение кубических уравнений). Затем решаются два квадратных уравнения формула, в которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни этих уравнений являются корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример.

Найти корни уравнения формула.

Решение.

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Решим этот пример по методу Феррари.

Составляем и решаем кубическое уравнение:
формула

Одним из корней полученного кубического уравнения является формула, так как формула.

Получаем два квадратных уравнения
формула

Корнями первого уравнения являются формула, корнями второго х = 1 и х = -2.

Ответ:

формула.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+