Пример

Решите уравнение

Решение

Мы видим переменную в показателе степени и под знаком логарифма. Подобные уравнения, в которых переменная находится под знаками «разнородных» функций, обычно решаются функционально-графическим методом. В нашем случае графики строить не очень удобно, так что попробуем обойтись без них. Значит, графический метод решения уравнения пока отложим. Посмотрим на другое направление функционально-графического метода, предполагающее использование возрастания/убывания для решения уравнений. И это выглядит перспективно: несложно заметить, что функция, отвечающая левой части уравнения, убывающая, а функция, отвечающая правой части уравнения – возрастающая. Приведем детальное обоснование этого.

Левой части уравнения соответствует показательная функция с основанием, меньшим единицы, а мы знаем, что показательные функции с основанием меньшим единицы убывают (при необходимости повторите основные элементарные функции).

Возрастание функции, отвечающей правой части, легко обосновать через свойства возрастающих и убывающих функций. Функция - возрастающая как линейная функция с положительным коэффициентом при x. Функция натурального логарифма – возрастающая. Следовательно, функция - возрастающая как возрастающая от возрастающей. Значит, возрастает и функция , так как положительный числовой коэффициент не влияет на промежутки возрастания/убывания.

Итак, функция, отвечающая левой части уравнения, убывает, а функция, отвечающая правой части уравнения, возрастает. Известно, что если при этом уравнение имеет корень, то он является единственным. Так что, если нам удастся каким-либо образом определить корень уравнения, то он и будет искомым решением. В нашем случае корень легко подбирается (при необходимости смотрите рекомендации по подбору корня уравнения), им является число 3.

Ответ:

3.

К началу страницы