Решите уравнение

Несложно выделить под внешними корнями выражение x+2, это откроет путь к введению новой переменной. Проведем соответствующие равносильные преобразования уравнения:

Еще одно преобразование – переход к уравнению , которое в нашем случае равносильное, открывает дорогу методу введения новой переменной. Примем . Это приводит нас к уравнению с новой переменной: . Замечаем, что выражения под знаками корней представляют собой полные квадраты: . Такие иррациональные уравнения решаются через переход к модулям:

Таким образом, уравнение с новой переменной t имеет бесконечное множество решений, им является числовой промежуток [2, 3].

Теперь надо возвратиться к старой переменной. На первом шаге метода введения новой переменной мы принимали , а на предыдущем шаге нашли , что то же самое, . Следовательно, .

Осталось решить двойное неравенство . Так как числа 2 и 3 – положительные, то можно пойти путем возведения всех частей неравенства в квадрат:

Решение двойного неравенства можно было проводить и через переход к системе неравенств . Составляющие ее иррациональные неравенства решаются довольно легко, имеем

Так найдено решение исходного уравнения, им является числовой отрезок [2, 7].

[2, 7].