Решите уравнение

Разнородные функции в записи уравнения подсказывают, что, скорее всего, для решения этого уравнения придется прибегать к функционально графическому методу. Просматривается возможность оценить значения произведения, находящегося в левой части уравнения, так как почти очевидны оценки значений составляющих это произведение выражений. Итак, попробуем решить уравнение методом оценки.

Оценки и очевидны (при необходимости изучите материал статьи «Как оценить значение выражения»). Оценку значений квадратного трехчлена x²−4·x+7 несложно получить либо через выделение полного квадрата, либо через нахождение ординаты вершины параболы. И тот и другой способы дают x²−4·x+7≥3. Записанные оценки и свойство умножения верных числовых неравенств одинакового смысла, дают оценку значений левой части уравнения: . Из этого же свойства следует, что равенство возможно тогда и только тогда, когда .

Так мы от исходного уравнения перешли к равносильной системе уравнений. Решить систему в нашем случае проще всего путем решения ее второго уравнения и последующей проверки найденных корней на предмет их удовлетворения остальным уравнениям системы. Уравнение x²−4·x+7=3 равносильно квадратному уравнению x²−4·x+4=0, которое в свою очередь равносильно уравнению (x−2)²=0, единственный корень которого очевиден: x=2. Проверка подстановкой показывает, что x=2 удовлетворяет и первому, и последнему уравнениям системы:

Значит, x=2 – корень системы, причем единственный. А так как система равносильна исходному уравнению, то x=2 – единственный корень исходного уравнения. Так методом оценки мы нашли интересующее нас решение уравнения.

2.