Логарифмические уравнения

Определение логарифмического уравнения

Определения логарифмических уравнений, которые даны в разных математических справочниках и учебниках по алгебре и началам анализа, отличаются друг от друга. Это, естественно, приводит к неоднозначному пониманию того, что такое логарифмическое уравнение. Ситуация нехорошая, не правда ли? Сейчас мы попытаемся ее исправить. Для этого давайте познакомимся с несколькими самыми распространенными определениями логарифмических уравнений, проанализируем их, вникнем в их суть, и составим для себя универсальное, понятное и удобное определение логарифмического уравнения.

Определение логарифмического уравнения из справочника по математике

Определение

Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифмической функции, основание которой либо число, либо параметр [1, с.68].

В качестве примеров приведены уравнения lg(x2+17·x+6)−lg(2·x+1)=1, и lg((x+9)2·x4)=lgx2+2. От себя хочется добавить еще пару примеров, чтобы показать, что в логарифмических уравнениях могут быть логарифмы не только с основанием 10, но и с другими основаниями: log2x=1, 2·log5lgx=log5(10−9·lgx) и т.д. Все приведенные уравнения подходят под данное выше определение, так как в каждом из них есть переменная под знаком логарифмической функции с числовым основанием.

Данное определение логарифмического уравнения требует, чтобы основание логарифмической функции было числом или параметром. По этой причине уравнения с переменными в основаниях логарифмов, наподобие следующих и log3x+logx3=5/2, не подходят под приведенное определение. Но, необходимо заметить, почти во всех современных учебниках и задачниках (на 2021 год) подобные уравнения фигурируют в рамках темы «логарифмические уравнения», значит, в этих учебниках логарифмические уравнения определяются иначе. В следующих пунктах увидим как.

К началу страницы

Определение из учебника Мордковича

Определение

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида logaf(x)=logag(x), где a – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду [2, с.121].

Приведем пример. Уравнение log3(x2−3·x−5)=log3(7−2·x) очевидно имеет вид logaf(x)=logag(x), где a=3 (3>0, 3≠1), f(x)=x2−3·x−5, g(x)=7−2·x, значит, это логарифмическое уравнение по определению.

А уравнение log2x=3 - логарифмическое? Его вид отличен от logaf(x)=logag(x), но оно сводится к указанному виду путем замены числа 3 логарифмом log223. Значит, согласно данному определению log2x=3 - логарифмическое уравнение.

А подходит ли под записанное определение уравнение log0,1·xx+log0,2·xx=0? Очевидно, его вид отличен от logaf(x)=logag(x). А можно ли привести это уравнение к указанному виду? В отличие от предыдущего случая, здесь сразу не скажешь. Это нужно выяснять, осуществляя преобразование уравнения и, возможно, какие-нибудь другие действия.

Последний пример наглядно демонстрирует главное неудобство записанного определения логарифмического уравнения: во многих случаях по внешнему виду уравнения нет возможности сказать, является уравнение логарифмическим или нет.

Более того, в виде logaf(x)=logag(x) можно представить некоторые уравнения, которые не имеют никакого отношения к логарифмическим уравнениям. Например, очень простое рациональное уравнение 2·x2+1=3 можно переписать как lg(2·x2+1)=lg3. Так что же, считать его логарифмическим?

Итак, стоит поискать более удобное определение логарифмического уравнения.

К началу страницы

Что такое логарифмические уравнения по Колмогорову

Материал, посвященный логарифмическим уравнениям, в учебнике Колмогорова А. Н. начинается введением в рассмотрение так называемых простейших логарифмических уравнений: «Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение logax=b» [3, с. 242]. Определение логарифмических уравнений, отличных от простейших, не дается, и приходится додумывать его самостоятельно по приведенным примерам. Благо примеров приведено много, причем они довольно разнообразные. Вот некоторые из них: log2(x2+4·x+3)=3, log5(2·x+3)=log5(x+1), logx(x2−2·x+2=1), , log2(9−2x)=3−x, log0,1sin2x+lgcosx=lg7. Видны общие черты приведенных логарифмических уравнений – это наличие логарифма с переменной под его знаком. В одном примере видна переменная в основании логарифма, то есть, это допустимо.

Переменную под знаком логарифма видно как в «чистом виде», так и под знаками других функций, в частности, под корнем и знаками тригонометрических функций, а также в составе выражений с переменными. Этого вполне достаточно, чтобы сформировать адекватное представление о логарифмических уравнениях.

К началу страницы

Понятие о логарифмических уравнениях у Колягина

Колягин Ю. М. в своем учебнике знакомит читателя с логарифмическими уравнениями тоже по примерам [4, с. 245-249]. Взглянем на некоторые из них: log2(x+1)+log2(x+3)=3, log4(2·x−1)·log4x=2·log4(2·x−1), log1−x(3−x)=log3−x(1−x), xlgx−1=100, , , , где a - параметр. И вновь мы видим уравнения с логарифмами, переменные и выражения с переменными под знаками логарифмов, в том числе и в основаниях логарифмов, переменные под знаками других функций, не только логарифмических. Последнее уравнение содержит параметр a, то есть, это логарифмическое уравнение с параметром.

К началу страницы

Определение логарифмического уравнения из учебника Кочеткова

Определение

Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные величины под знаком логарифма [5, с. 114].

К таким относятся, например, log2x=5, logx(x−1)=0. Вот еще пара уравнений, подходящих под записанное определение логарифмического уравнения, но чуть более сложных: , log3·x3=(log3(3·x))2.

Несомненное достоинство этого определения логарифмического уравнения в простоте и возможности по одному взгляду на уравнение сказать, является оно логарифмическим или нет.

К началу страницы

Универсальное определение логарифмического уравнения

Выше мы познакомились с несколькими основными подходами к определению логарифмического уравнения и отметили особенности каждого из них. Теперь мы можем объективно судить о том, что такое логарифмическое уравнение. Удобнее всего считать, что

Определение

Логарифмическое уравнение – это уравнение, содержащее под знаком логарифма (можно в его основании) переменную или выражение с переменной.

Это определение принципиально согласуется со всеми данными выше определениями, при этом оно удобно, интуитивно понятно и позволяет по одному взгляду на уравнение сделать вывод о том, является оно логарифмическим или нет. Если в записи уравнения есть логарифм, под знаком которого и/или в его основании есть переменная или некоторое выражение с переменной, то уравнение является логарифмическим, если нет – то не является.

К началу страницы

О количестве переменных в логарифмических уравнениях

Остается сказать несколько слов о количестве переменных в логарифмических уравнениях. Ничто не мешает рассматривать логарифмические уравнения не только с одной переменной, но и с двумя, тремя и большим их числом. Но стоит заметить, что в школьной программе в основном изучаются логарифмические уравнения с одной переменной. Однако встречаются логарифмические уравнения и с большим количеством переменных, правда, в рамках систем уравнений. Например, можно столкнуться с такими задачами: «Решите систему уравнений » и т.п. Второе уравнение системы – это логарифмическое уравнение с двумя переменными.

Литература

  1. Рывкин А. А., Рывкин А. З., Хренов Л. С. Справочник по математике: Справочное пособие для учащихся сред. спец. учеб. заведений и поступающих в вузы. - 5-е изд., стереотипное. - М.: Высш. шк., 1987. - 480 с.: ил.
  2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
  3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.
  5. Алгебра и элементарные функции. Часть 2. Учебное пособие для учащихся 10 класса средней школы / [Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова]; под ред. доктора физико-математических наук О. Н. Головина. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1967.

К началу страницы