Математика на cleverstudents.ru

Уравнения, решение уравнений

Решение линейных уравнений с одной переменной.

После того как мы узнали, что такое уравнение, и научились решать самые простые из них, в которых находили неизвестное слагаемое, уменьшаемое, множитель и т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения, целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x, здесь коэффициент a равен 5, а число b есть 10. Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y, в котором a=−2,3 и b=0. А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2, а во втором - b=3,33.

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6, и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0, здесь коэффициент a равен 2, а b – равен −12, и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6. Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0, а a·x=b, например, 3·x=12.

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0. Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0, будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям. При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6, 4+25·y=6+24·y, 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0. Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b. При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

• единственный корень при a≠0,
• не имеет корней при a=0 и b≠0,
• имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0, в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям, то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

• перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
• а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b.

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a, после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a, этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x₁. Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x₂, причем x₂≠x₁, что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x₁−x₂≠0. Так как x₁ и x₂ корни линейного уравнения a·x+b=0, то имеют место числовые равенства a·x₁+b=0 и a·x₂+b=0. Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств, имеем a·x₁+b−(a·x₂+b)=0−0, откуда a·(x₁−x₂)+(b−b)=0 и дальше a·(x₁−x₂)=0. А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x₁−x₂≠0. Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0.

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0. Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0.

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0. Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x, при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0. Это равенство верное, когда b=0, а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0. А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0.

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

• Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.
• Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
• Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то
• коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b,
• после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b. Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

• Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
• Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a, откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a.

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Для полноты картины рассмотрим решение уравнений вида a·x=b. Решить их позволяет второй алгоритм из предыдущего пункта.