Пример
Решите иррациональное уравнение
Решение
Здесь при выборе метода решения иррационального уравнения главное разглядеть, что заданное иррациональное уравнение имеет структуру h(f(x))=h(g(x)), где f(x)=3−4·x, g(x)=x2−2 и , и что функция h – возрастающая, как сумма двух возрастающих функций и (при необходимости смотрите свойства возрастающих и убывающих функций). Это заставляет обратиться к методу освобождения от внешней функции.
Согласно методу освобождения от внешней функции, нужно
- во-первых, освободиться от внешней функции,
- во-вторых, решить полученное уравнение,
- в-третьих, если в результате освобождения от внешней функции произошло расширение ОДЗ, то отсеять посторонние корни.
Освобождение от внешней функции приводит нас к уравнению 3−4·x=x2−2. Оно равносильно квадратному уравнению x2+4·x−5=0, которое имеет два корня x1=−5 и x2=1. Отсеивание посторонних корней в нашем случае можно проводить и по ОДЗ, и по условиям ОДЗ, и через проверку подстановкой. Здесь все способы примерно одинаковые по трудозатратам. Давайте выберем способ через проверку подстановкой:
Таким образом, −5 – единственный корень уравнения.
Ответ:
−5.