Решить иррациональное уравнение

Чувствуется, что здесь нужно решать иррациональное уравнение при помощи преобразований уравнения, да другие методы решения и не просматриваются. Главное, не начать решение с перехода от исходного иррационального уравнения к уравнению с целью дальнейшего получения в левой части уравнения дроби с таким же знаменателем, как у дроби в правой части уравнения. В нашем случае такое преобразование проводить нельзя, так как оно сужает ОДЗ. Действительно, область допустимых значений для исходного уравнения есть (−∞, −3)∪(0, +∞), а для полученного – (0, +∞).

Так что давайте искать преобразования, не приводящие к сужению ОДЗ.

Есть смысл прибегнуть к умножению обеих частей иррационального уравнения на одно и то же выражение , чтобы дальше освободиться от дробей. Это преобразование не изменяет ОДЗ, причем на ОДЗ для исходного уравнения выражение не обращается в нуль. Значит, уравнение, которое получится после умножения обеих частей исходного уравнения на , будет равносильно исходному. Итак, переходим к уравнению .

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения: . Это равносильное преобразование уравнения.

В правой части выполним умножение дроби на корень . Это тоже равносильное преобразование уравнения.

Сокращение дроби в правой части уравнения не приводит к изменению ОДЗ, поэтому является равносильным преобразованием. Оно приводит к уравнению .

Теперь на базе свойства корня из произведения перейдем к уравнению . Этот переход расширяет ОДЗ до множества всех действительных чисел без двух чисел −3 и 0, так что в конце решения нам нужно будет не забыть выполнить проверку корней на наличие среди них посторонних.

Два следующих перехода понятны и равносильны: и .

Сокращение дробей под знаками корней приводит к уравнению . Это преобразование еще расширяет ОДЗ до множества всех действительных чисел.

Иррациональные уравнения полученного вида мы решать умеем, они решаются через переход к модулям (при необходимости смотрите решение иррациональных уравнений через переход к модулям):

Осталось провести отсеивание посторонних корней. Посторонние корни при нашем ходе решения могли появиться только из-за расширения ОДЗ, поэтому отсеивание посторонних корней можно провести по ОДЗ. Оба найденных корня −6 и 3 принадлежат ОДЗ переменной x для исходного уравнения (−∞, −3)∪(0, +∞), поэтому, оба этих корня являются искомыми решениями.

−6, 3.