Решить иррациональное уравнение

Ощущается связь между выражениями (x+3)·(x+1) и . И здесь главное в поисках этой связи не начать решать иррациональное уравнение через преобразования так


или так

Давайте посмотрим, почему такие подходы к решению недопустимы.

Смотрим на самый первый переход от исходного уравнения к уравнению . При этом переходе сужается ОДЗ с множества (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множества [−1, +∞). А это может повлечь потерю корней. Так что такое преобразование недопустимо.

Теперь смотрим на первый переход для второго варианта преобразований от исходного уравнения к уравнению . Здесь проблема уже не в сужении ОДЗ, а в том, что выражение x+3 заменяется не тождественно равным ему выражением . Тождественно равными выражениями являются |x+3| и , но не x+3 и . Значения выражений x+3 и совпадают при x+3≥0, а при x+3<0 – не совпадают, при x+3<0 значения выражения x+3 совпадают со значениями выражения , что следует из равенства . Значит, учитывая ОДЗ переменной x для исходного уравнения, от исходного уравнения нужно переходить не к уравнению , а к равносильной совокупности двух систем и . Но этот подход к решению в данном случае не оптимален.

Как же поступить лучше? Здесь нужно увидеть, что , это сразу делает очевидной возможность применения метода введения новой переменной. Принимаем , откуда , и переходим к уравнению с новой переменной t²+3·t+2=0. Решаем это квадратное уравнение:

Возвращение к старой переменной дает два иррациональных уравнения и . Для их решения подходит метод возведения обеих частей иррационального уравнения в квадрат. Решим по очереди эти уравнения.

Аналогично решается уравнение . Возведение его обеих частей в квадрат приводит к квадратному уравнению, корнями которого являются числа и , последнее из которых является посторонним корнем для уравнения .

Таким образом, исходное иррациональное уравнение имеет два корня и .

, .