Пример

Решить иррациональное уравнение

Решение

Очевидно, здесь придется решать иррациональное уравнение через преобразования. Начинать будем с упрощения вида правой части.

Сначала число 6 в показателе степени представим в виде произведения 2·3, это даст уравнение . Понятно, что это равносильное преобразование уравнения: выражение (в данном случае это число 6) заменяется тождественно равным выражением (произведением 2·3), при этом не изменяется ОДЗ (для исходного уравнения ОДЗ определяется условием x+6≥0, для полученного уравнения ОДЗ определяется этим же условием).

Следующее преобразование проводим с использованием одного из свойств степеней (свойства степени в степени) и переходим к уравнению . И здесь выражение заменено тождественно равным выражением, при этом область допустимых значений не изменилась (она опять определяется условием x+6≥0), поэтому проведенное преобразование уравнения является равносильным.

Все это мы делали для того, чтобы теперь сослаться на определение корня и перейти к уравнению . А вот при этом преобразовании ОДЗ расширилась до множества всех действительных чисел. Значит, проведенное преобразование может привести к появлению посторонних корней, и нам обязательно нужно будет проверить найденные корни на наличие среди них посторонних корней.

Решим рациональное уравнение . Для его решения подходит метод разложения на множители:

Мы нашли три корня x1=−6, , уравнения . Но как мы выяснили выше, среди корней этого уравнения могут быть корни, посторонние для исходного уравнения. Причину возможного появления посторонних корней мы помним – это расширение ОДЗ, поэтому проверку можно провести с использованием ОДЗ. В нашем случае удобно отсеять посторонние корни по условию ОДЗ:

Таким образом, иррациональное уравнение имеет два корня −6 и , а - посторонний корень для данного уравнения.

Ответ:

−6, .

К началу страницы